平面曲線の曲率の計算について
- 曲率の計算が合いません。元ネタは下の画像です。
- 私が持っているベクトル解析の参考書には t↑が単位接ベクトルのとき、|(t↑)'|が曲率であると定義されています。
- 計算方法における誤りを指摘してください。
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平面曲線の曲率の計算について
曲率の計算が合いません。元ネタは下の画像です。 画像の de1/dt を (t↑)' で表しています。 私が持っているベクトル解析の参考書には t↑が単位接ベクトルのとき、|(t↑)'|が曲率であると定義されています。 そこで x''y' - x'y'' y''x' - y'y'' (t↑)'= ( y'──────────────, x'────────────── ). ( (x')^2+(y')^2 )^(3/2) ( (x')^2+(y')^2 )^(3/2) から直接|(t↑)'| を計算したのですが、画像の(39)と合いません。おかしなところを指摘してください。 添付画像の微分記号は計算するとき煩雑なので a = x', b = x'' c = y', d = y'' a^2 + c^2 = (x')^2+(y')^2 と置くと c(bc-ad) a(ad-bc) (t↑)'= ( ──────────, ─────────── ). (a^2+c^2)^(3/2) (a^2+c^2)^(3/2) ここで |(t↑)'|^2 を計算する。 分母は ( (a^2+c^2)^(3/2) )^2 = (a^2+c^2)^3 分子は (c(bc-ad))^2 + (a(ad-bc))^2 = c^2( (bc)^2 + (ad)^2 - 2abcd ) + a^2( (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd ) = c^2(bc)^2 + c^2(ad)^2 - c^2(2abcd) + a^2(ad)^2 + a^2(bc)^2 - a^2(2abcd) = (bc)^2(a^2+c^2) + (ad)^2(a^2+c^2) -2abcd(a^2+c^2) = (a^2+c^2)( (ad)^2+(bc)^2-2abcd ) = (a^2+c^2)(ad-bc)^2. (a^2+c^2)(ad-bc)^2 (ad-bc)^2 |(t↑)'|^2 = ──────────── = ─────────. (a^2+c^2)^3 (a^2+c^2)^2 |ad-bc| |(t↑)'| = ───────. a^2+c^2
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・・・・私が持っているベクトル解析の参考書には t↑が単位接ベクトルのとき、|(t↑)'|が曲率であると定義されています。 -------------------------- ※ |(t↑)'| はｔに関する微分ではなく、弧長parameter s に関する微分です。 (普通、dr/dsをr'(s) と書き、tでの微分dr/dtはr(t)の上にdotをつけます) (t↑)'=(d/dt)|(t↑) /(ds/dt), ds/dt=(a^2+c^2)^(1/2). です。
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