平面曲線の媒介変数表示, 曲率

質問

xy 面上の曲線C: ζ(t) =(x(t) , y(t))=(R(t － sin t) , R(1 － cos t)) (0 ≤ t ≤ 2π) を考える。
弧長パラメータs をもちいた曲率の定義に従い, サイクロイドC の曲率κ(s) を求めよ。

弧長をs(t)とする。
s(t)=∫[0,2π} √{（dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt
=R√2∫[0,2π]√(1-cost)dt
=8R

s(t)=-4Rcos(t/2)

t(s)=2arccos(-s/4R)

κ=√{(d^2x/ds^2)^2 + (d^2y/ds^2)^2}

ここまでできたのですが、ここから先がわかりません。
（途中計算は長くなるので一部省略しました。）
途中式も含めて、詳しい解説お願いします。

回答No.1

transcendental · ベストアンサー

ζ（ｔ）＝（R（ｔ－sin（ｔ））、R(１－cos（ｔ））
とすると、ｄζ/ｄｔ＝（R（１－cos（ｔ））、Rsin（ｔ））ですから、
ｄｓ/ｄｔ＝｜ｄζ/ｄｔ｜＝√｛R＾２（１－cos（ｔ））＾２＋R＾２（sin（ｔ））＾２｝
＝２R・｜sin（ｔ/２）｜＝２R・sin（ｔ/２）．

また、
ｄζ/ｄｓ＝（ｄζ/ｄｔ）/（ｄｓ/ｄｔ）＝（sin（ｔ/２）、cos（ｔ/２））・・・（接線単位ベクトル）ですから、
ｄ＾２ζ/ｄｓ＾２＝（ｄ/ｄｓ）｛ｄζ/ｄｓ｝
＝（ｄ/ｄｓ）【（sin（ｔ/２）、cos（ｔ/２））】
＝（ｄ/ｄｔ）【（sin（ｔ/２）、cos（ｔ/２））】/（ｄｓ/ｄｔ）
＝（１/（４R））・（cos（ｔ/２）/sin（ｔ/２）、－１）・・・（法線ベクトル）

よって、κ＝｜ｄ＾２ζ/ｄｓ＾２｜
＝１/｛４R・sin（ｔ/２）｝、（０＜ｔ＜２π）
----------------------------
※　κを弧長ｓの関数で表示するならば、ｔとｓの関係ｓ＝４R（１－cos（ｔ/２））を利用します。

お礼

＞κを弧長ｓの関数で表示するならば、ｔとｓの関係ｓ＝４R（１－cos（ｔ/２））を利用します。

なぜ、ｓ＝４R（１－cos（ｔ/２））となるのですか？

詳しい解説お願いします。

回答No.4

yyssaa

dx/ds
=(1/2)[1/√{1-(1-s/4R)^2}]+(1/2)√{s/2R-(s/4R)^2}
+(1/2)(-2R+s/2)(1/2R-s/8R^2)/√{s/2R-(s/4R)^2}
=√{s/2R-(s/4R)^2}
2行目から、4行目の式変形がわかりません。
詳しい途中式をお願いします。
＞y(x)=arccos(x)の微分はdy/dx=-1/√(1-x^2)だから
2Rarccos(1-s/4R)をsで微分すると
2R*[-1/√{1-(1-s/4R)^2}]*(-1/4R)=(1/2)[1/√{1-(1-s/4R)^2}]
2(R-s/4)√{s/2R-(s/4R)^2}のsによる微分は単なる合成関数の微分だから
2*(-1/4)√{s/2R-(s/4R)^2}+2(R-s/4)*(1/2)*[1/√{s/2R-(s/4R)^2}]*{(1/2R-2(s/4R)(1/4R)}
=(-1/2)√{s/2R-(s/4R)^2}+(R-s/4)*(1/2R-s/8R^2)/√{s/2R-(s/4R)^2}
=[(-1/2)√{s/2R-(s/4R)^2}*√{s/2R-(s/4R)^2}+(R-s/4)*(1/2R-s/8R^2)]/√{s/2R-(s/4R)^2}
=[(-1/2){s/2R-(s/4R)^2}+(R-s/4)*(1/2R-s/8R^2)]/√{s/2R-(s/4R)^2}
=(-s/4R+s^2/32R^2+1/2-s/8R-s/8R+s^2/32R^2)/√{s/2R-(s/4R)^2}
=(-s/2R+s^2/16R^2+1/2)/√{s/2R-(s/4R)^2}
よって
x(s)=x(t(s))=2Rarccos(1-s/4R)-2(R-s/4)√{s/2R-(s/4R)^2}をsで微分すると
dx(s)/ds=(1/2)[1/√{1-(1-s/4R)^2}]-(-s/2R+s^2/16R^2+1/2)/√{s/2R-(s/4R)^2}
=(1/2)[1/√{s/2R-(s/4R)^2}]+(s/2R-s^2/16R^2-1/2)/√{s/2R-(s/4R)^2}
={s/2R-(s/4R)^2}/√{s/2R-(s/4R)^2}=√{s/2R-(s/4R)^2}

κ(s)
=√{(d^2x/ds^2)^2+(d^2y/ds^2)^2}
=√[[(1/4R-s/16R^2)/√{s/2R-(s/4R)^2}]^2+{-(1/4R)}^2]
=1/√(8Rs-s^2)
3行目から5行目の式変形がわかりません。
詳しい途中式をお願いします。
＞dx/ds=√{s/2R-(s/4R)^2}=√(s/2R-s^2/16R^2)
d^2x/ds^2=(1/2){1/√(s/2R-s^2/16R^2)}(1/2R-s/8R^2)
=(1/4)(1/R-s/4R^2)/√(s/2R-s^2/16R^2)
dy/ds=1-(s/4R)
d^2y/ds^2=-1/4R
あとは二乗和の平方根を計算すればよい。
(d^2x/ds^2)^2={(1/4)(1/R-s/4R^2)/√(s/2R-s^2/16R^2)}^2
=(1/16)(1/R^2-s/2R^3+s^2/16R^4)/(s/2R-s^2/16R^2)
(d^2y/ds^2)^2=1/16R^2
よって
√{(d^2x/ds^2)^2+(d^2y/ds^2)^2}
=√{(1/16)(1/R^2-s/2R^3+s^2/16R^4)/(s/2R-s^2/16R^2)+1/16R^2}
=√[{(1/16)(1/R^2-s/2R^3+s^2/16R^4)16R^2+(s/2R-s^2/16R^2)}/{16R^2(s/2R-s^2/16R^2)}]
=√{1/(8sR-s^2)}=1/√(8sR-s^2)

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.3

yyssaa

なぜ、cost=2cos^2(t/2)-1　となるのですか？
＞cost=cos(t/2+t/2)=cos(t/2)cos(t/2)-sin(t/2)sin(t/2)
=cos^2(t/2)-sin^2(t/2)=cos^2(t/2)-{1-cos^2(t/2)}
=2cos^2(t/2)-1

お礼

回答No.2に対する質問です。

dx/ds
=(1/2)[1/√{1-(1-s/4R)^2}]+(1/2)√{s/2R-(s/4R)^2}
+(1/2)(-2R+s/2)(1/2R-s/8R^2)/√{s/2R-(s/4R)^2}
=√{s/2R-(s/4R)^2}

2行目から、4行目の式変形がわかりません。
詳しい途中式をお願いします。

κ(s)
=√{(d^2x/ds^2)^2+(d^2y/ds^2)^2}
=√[[(1/4R-s/16R^2)/√{s/2R-(s/4R)^2}]^2+{-(1/4R)}^2]
=1/√(8Rs-s^2)

3行目から5行目の式変形がわかりません。
詳しい途中式をお願いします。

回答No.2

yyssaa

＞x(t)=R(t-sint)、y(t)=R(1-cost)、dx/dt=R(1-cost)、dy/dt=Rsint
s(t)=∫[0→t]√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt
=∫[0→t]R√{(1-cost)^2+(sint)^2}dt=R√2∫[0→t]√(1-cost)dt
=2R∫[0→t]sin(t/2)dt=4R{1-cos(t/2)}
cos(t/2)=1-s/4R、sin(t/2)=√{1-cos^2(t/2)}=√{s/2R-(s/4R)^2}
cost=2cos^2(t/2)-1=1-s/R+2(s/4R)^2
sint=2sin(t/2)cos(t/2)=2(1-s/4R)√{s/2R-(s/4R)^2}
t=2arccos(1-s/4R)
x(s)=x(t(s))=2Rarccos(1-s/4R)-2(R-s/4)√{s/2R-(s/4R)^2}
y(s)=y(t(s))=s-2R(s/4R)^2
dx/ds=(1/2)[1/√{1-(1-s/4R)^2}]+(1/2)√{s/2R-(s/4R)^2}
+(1/2)(-2R+s/2)(1/2R-s/8R^2)/√{s/2R-(s/4R)^2}=√{s/2R-(s/4R)^2}
dy/ds=1-(s/4R)
d^2x/ds^2=(1/2)[1/√{s/2R-(s/4R)^2}]{1/2R-2(s/4R)(1/4R)}
=(1/4R-s/16R^2)/√{s/2R-(s/4R)^2}
d^2y/ds^2=-(1/4R)
κ(s)=√{(d^2x/ds^2)^2+(d^2y/ds^2)^2}
=√[[(1/4R-s/16R^2)/√{s/2R-(s/4R)^2}]^2+{-(1/4R)}^2]
=1/√(8Rs-s^2)
0≦t≦2πで0≦s(t)=4R{1-cos(t/2)}≦8Rだから
κ(s)=1/√(8Rs-s^2)
ただし、s=0及びs=8R、すなわちt=0及びt=2πを除く。・・・答

お礼

なぜ、cost=2cos^2(t/2)-1　となるのですか？