漸近展開式について

質問

いつもお世話になっております。
下記、積分指数関数の漸近展開のやり方について教えて下さい。
e^z * E1(z) = 1/z * Σ n=0~∞ (n! / (-z)^n)
どのようにして右辺のような式になるのか、
分からない為導出過程も記載して頂けると助かります。

回答No.1

EH1026TOYO · ベストアンサー

E1(x)は積分指数の事・・!?

積分指数Ei(x)の漸近展開は
Ei(x) = ∫(-∞,x){e ͭ/t}dt ～eˣΣ[n=0～∞]n!/xⁿ⁺¹　(x➝-∞)

与式の関係を見るにEi(-x)の漸近展開の様に思う・・!?
f(x) =∫(x,∞){e ͯ ⁻ ͭ /t}dt
= e ͯ ∫(x,∞){e⁻ ͭ /t}dt　　(f1=e⁻ ͭ , f2=1/t と見て部分積分を繰り返し適用すると)
= e ͯ (e⁻ ͯ /x - e⁻ ͯ /x² + 2!e⁻ ͯ /x³ -…+ (-1)ⁿn!e⁻ ͯ /xⁿ⁺¹ )+∫(x,∞){e ͯ ⁻ ͭ /tⁿ⁺¹}dt )
= 1/x - 1/x² + 2!/x³ -…+ (-1)ⁿn!/xⁿ⁺¹ + (n+1)!∫(x,∞){e ͯ ⁻ ͭ /tⁿ⁺²}dt )
= Sn(x) + (n+1)!∫(x,∞){e ͯ ⁻ ͭ /tⁿ⁺²}dt　　
(Sn(x) = 1/x - 1/x² + 2!/x³ -…+ (-1)ⁿn!/xⁿ⁺¹ と表す!)

|f(x) - Sn(x)| = (n+1)!∫(x,∞){e ͯ ⁻ ͭ /tⁿ⁺²}dt
e ͯ ⁻ ͭ ≦1　(x≤t)だから
∫(x,∞){e ͯ ⁻ ͭ /tⁿ⁺²}dt≦∫(x,∞){1/tⁿ⁺²}dt = 1/{(n+1)xⁿ⁺¹}
∴|f(x) - Sn(x)| ＜ (n+1)!1/{(n+1)xⁿ⁺¹} = n!/xⁿ⁺¹
lim(x➝∞)xⁿ|f(x) - Sn(x)| = 0

よって
f(x) ～Σ(n=0～∞){(-1)ⁿn!/xⁿ⁺¹}　(x➝∞)

f(x) =∫(x,∞){e ͯ ⁻ ͭ /t}dt = e ͯ Ei(-x)なので
Ei(-x)～e⁻ ͯ Σ(n=0～∞){(-1)ⁿ⁺¹n!/xⁿ⁺¹}

お礼

補足になりますが、E1(z) = ∫(z→∞) e^-t/t dt　の事です。

教えて頂いたやり方を参考したらできました。
丁寧な解説をありがとう御座います。