無限乗積展開について

質問

sinZ の無限乗積展開 sinZ=zΠ(n=1→∞)(1-z^2/n^2π^2)
において、zをπ/2-z と置き換えれば
cosz=Π(n=1→∞){1-z^2/(n-1/2)^2π^2} となるとのことですが
右辺の過程がわかりません。よろしくお願いします。

回答No.1

post_iso · ベストアンサー

sin(Z) = ZΠ[n=1→∞](1-Z^2/n^2π^2)

に

Z　=　π/2-z

を代入します。

cos(z) = (π/2-z)Π[n=1→∞]{1-(π/2-z)^2/n^2π^2}

右辺の積の因子は

z = π/2 ± nπ

の２つで根をもつので

-k{1 - z/(π/2 + nπ)}{1 - z/(π/2 - nπ)}

と因数分解できます。
あとは、n = 1から順番に積をとっていけば
n=0 z_0 = π/2(積の因子の前にある因子)
n=1 z_1 = 3π/2 ,-π/2
n=2 z_2 = 5π/2 ,-3π/2
n=3 z_3 = 7π/2 ,-5π/2
：
と１つずつ根の位置がずれて、右辺の式が得られます。

お礼

z^2の係数を比較すると、-k=1-1/4n^2　となりますが、
Π[n=1→∞](1-4n^2)=Π[n=1→∞](1-1/2n)(1+1/2n)
=lim[n→∞](1/2*3/2)(3/4*5/4)…{(2n-1)/2n*(2n+1)/2n}=2/π
（ウォリスの公式より）となるので
右辺の積における余因子の(1+z/(π/2))と
Πの前にある因子(π/2-z)と2/πを掛けて1-z^2/(π/2)^2 となり解決しました。ありがとうございました。