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y=log(x)(1≦x≦a)の曲線の長さを求める

y=log(x)(1≦x≦a)の曲線の長さを求める計算はどうなりますか? ∮(x^2+a)^(1/2)dx=(1/2)(x(x^2+a)^(1/2)+a*log|x+(x^2+a)^(1/2)|)を使うのかなとは思いますが、計算がうまくいきません。ちなみに答えは(a^2+1)^(1/2)-√2+log((a^2+1)^(1/2)-1)-log(√2-1)-log(a)です。

みんなの回答

  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.2

>なぜx^2+1 = t^2が2xdx = 2tdt になるのでしょうか?  x^2+1 = t^2    ↓ 参考 URL / 定積分の置換積分 両辺を t で微分、  2x*(dx/dt) = 2t より。   

参考URL:
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/trans_integral2.htm
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  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.1

y=LN(x) (1≦x≦a) の曲線長は、   a  ∫ √{1+(1/x)^2} dx   1  ∫ √{1+(1/x)^2} dx に変換 x^2+1 = t^2 を施せば、2xdx = 2tdt が成立ち、  ∫√{1+(1/x)^2} dx = ∫(t/x)^2 dx = ∫t^2/(t^2-1) dt = ∫{1 + 1/(t^2-1)} dt  = ∫{1 + (1/2)*{ 1/(t-1) - 1/(t+1) } dt を得る。 (原始関数は t と LN(t-1)、LN(t+1) の一次結合。あとは割愛 … )   

piiiiiit
質問者

補足

なぜx^2+1 = t^2が2xdx = 2tdt になるのでしょうか?

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