関数の極限

質問

lim(x→-3)1/(x+3)^2 ・・・(1)の極限とlim(x→∞)cosx/x・・・(2)の極限値、の求め方がわからないので、質問します。
(1)の解説は、lim(x→-3)(x+3)=0 ,1/(x+3)^2>0 から極限∞と書いてあります。分母が限りなく0に近い正の値になるので、∞と考えて良いのでしょうか、しかし他の極限を求める問題では（関数にいろんな計算した後）ｘが近づく数を関数に代入したりして求めているので、自分の考えも間違っていると思います。お返事ください。
(2)の別解では、-1≦cosx≦1であるから　ｘ＞0のとき -1/x≦cosx/x≦1/xと続きます。xは負の値から∞に近づくかもしれないのに、x>0のときに限るのは∞(限りなく大きい正の数)に、近づいた後のときだけを考えているのでしょうか？ｘ＞0にしていい理由を教えてくださいお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
x→-3のとき分母は→0で，分子は有限なのだから，全体としては→∞か→-∞だけれど，1/(x+3)^2>0なので→∞とわかる。
(2)
x→∞のとき分母は→∞で，分子は有限なのだから，全体としては→0です。

要するに，あなたの考えていることで問題ない。

お礼

∞か－∞かの判定に、関数が正か負を使うのですね。ありがとうございます。

補足

後から質問してすみませんが、x>0のときに限るのは∞(限りなく大きい正の数)に、近づいた後のときだけを考えているなら、0≦cosx≦1にならないのはなぜでしょう。よかったらお返事ください。

回答No.3

f272

#1です。

> 0≦cosx≦1にならないのはなぜでしょう

えっと，xの範囲がどこまで大きくなっても，その近傍でxが2πだけ変化すればそのときcosxは-1から1まで変化しますよ。

お礼

単位円で考えず、cosxのグラフを考えれば、納得できました。親切に答えてもらい、ありがとうございます。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato）

(1)
「関数にいろんな計算した後」は、たぶん「0÷0形」の極限のことかと思われます。
たとえば
lim(x->3) (xx-4x+3)/(xx-5x+6)
であれば、まず分子も分母も単独では0に収束することを確認し、分子分母を(x-3)で約分してから極限値を求めます。
題意の極限の場合、おおまかにいうと「1÷0」なのでその変形は必要なく、発散と判断できます。
(2)
limの下に「x->∞」とありますので、xは「十分に大きな正の数」のときのみを考えればよいです。なのでx<0の場合の考慮は必要ありません。

お礼

具体例ありがとうございます。