数学の平面と局面の接点を求める問題です

質問

曲面　：（ｘ+2）＾2+（ｙ+1）＾2　＝　4ｚ
平面　：　ｚ＝a(x+y+2)
aは正の実数

この曲面と平面が1点で接するときのaの値及びa＝1の時に曲面と平面で囲まれる領域の体積を求める問題が分かりません。

一点で接するときのaの値は判別式を使うのかと考えたのですがうまくいきませんでした。
解き方、解法のご教授お願いします。

回答No.4

info222_ · ベストアンサー

No.2, No.3 です。
ANo.2 の補足コメントについて

>前半の(3)と(4)の部分がよく分かりません
>>この曲面と平面が1点(x,y,z)で接するとき
実数の組(x,y)がただ1組存在するのであるから
>xについて判別式を適用するのですか？
判別式=0 (重解条件)が成り立つのです。
(4)は重解条件が成り立っている時の重解xです。
yただ1つの実数なのでyの2次方程式(5)についても同様に
重解条件(判別式=0)を適用して重解yが得られます。
求まる重解x,y と z=a(x+y+2) によって
曲面と平面のただ1つの接点座標が求まるのです。

ANo2,ANo3の解答は2次方程式の判別式を用いる解法ですが,
偏微分を用いる別解もあります。

回答No.3

info222_

No.2 です。

ANo.2 の前半で,
>平面と曲面の接点を求める
の接点のz座標を書き忘れていましたので補足します。

[曲面と平面が1点で接するときのaの値]
>a=1/2 ...(8)
>この時 (4),(7) より x= -1, y=0 ...(9)
>ｚ＝a(x+y+2) ...(2)
=(1/2)(-1+0+2)= 1/2
(Ans.) a=1/2, 接点の座標(-1, 0, 1/2)

回答No.2

info222_

(ｘ+2)^2+(ｙ+1)^2＝4ｚ ... (1)
ｚ＝a(x+y+2) ...(2)
(2) を (1) に代入
(x+2)^2+(y+1)^2=4a(x+y+2)
x^2+4(1-a)x+4+y^2+2(1-2a)y+1-8a=0
x^2+4(1-a)x+y^2+2(1-2a)y+5-8a=0
実数xがただ1つ定まるためには
判別式D/4= -y^2+(4a-2)y+4a^2-1=0 ...(3)
重解x=2(a-1) ...(4)
を持つことが必要である。
(3) より
y^2+2(1-2a)y-(4a^2-1)=0 ...(5)
実数yがただ1つ定まるためには
判別式D/4=(1-2a)^2+(4a^2-1)=0 ...(6)
重解 :y=2a-1 ...(7)
を持つことが必要である。
(6)より
4a(2a-1)=0
a>0 より
a=1/2 ...(8) ... (Ans.)
この時 (4),(7) より x= -1, y=0 ...(9)

-------後半---------
[a＝1の時に曲面と平面で囲まれる領域の体積]
a=1
(x+2)^2+(y+1)^2=4z ...(1)
z=x+y+2 ... (2')
(1),(2')より zを消去
(x+2)^2+(y+1)^2=4(x+y+2) ... (3)
x^2+(y-1)^2=2^2 ...(4)
D:{(x,y)| x^2+(y-1)^2<=2^2} ... (5)
V= ∫∫[D] {x+y+2-((x+2)^2+(y+1)^2)/4} dxdy ...(6)
y-1=r sin(t),x=r cos(t) ...(7) とおいて, dxdy= r drdt ...(8)
D: ⇒{(r,t)| 0<=r<=2, 0<=t<= 2π} ...(9)
V= ∫[0, 2] ∫[[0, 2π] {r cos(t) +r sin(t) +3 -((r cos(t)+2)^2+(r sin(t)+2)^2)/4} rdrdt...(10)
= ∫[0, 2] dr ∫[0, 2π] {r^2 ( cos(t) + sin(t) ) +3r - (1/4) (r^3+4r^2 (cos(t)+sin(t))+8r)} dt
= ∫[0, 2] dr ∫[0, 2π] {3r - (1/4) (r^3+8r)} dt ...(11)
=2π ∫[0, 2] {3r - (1/4) (r^3+8r)} dr ...(12)
=2π [3r^2/2-(1/4)(r^4/4+4r^2] [0,2] ...(13)
=2π {6-(1/4)(4+16)}
=2π ...(Ans.)

補足

後半の問題はりかいすることができました。
ありがとうございます。

前半の(3)と(4)の部分がよく分かりません
xについて判別式を適用するのですか？

回答No.1

011011gb

>一点で接するときのaの値は判別式を使うのかと考えたのです
　　その発想なら; zを消去し;
　　5 + 4 x + x^2 + 2 y + y^2 - a (8 + 4 x + 4 y)=0
　　Discriminant[左辺, y]=-16 + 16 a + 16 a^2 - 16 x + 16 a x - 4 x^2
Discriminant[-16 + 16 a + 16 a^2 - 16 x + 16 a x - 4 x^2, x]=256 a (-1 + 2 a)
で　a=1/2の方で　接点は(-1, 0,1/2}です。

　他の発想;　　法vector が　線型従属;
{2 (2 + x), 2 (1 + y), -4} = k*{-a, -a, 1}　KARA
　　　　k=-4,a=1/2 と　瞬時に　 aが求まります。

補足

判別式の使い方がわかりません
ax^2+bx+c
の場合はD= b^2-4ac
でやると思うのですがこの場合xでやるのですか？