数3 積分

質問

どうしても分からない問題があるので教えて下さい。お願いします。
・∫√1＋x^2dx
・∫cos ax sin bx dx (ただしa^2-b^2≠0)

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

1)
x=sinh(t)
とすると
dx={cosh(t)}dt
√(1+x^2)=cosh(t)
x+√(1+x^2)=e^t
t=log{x+√(1+x^2)}
{√(1+x^2)}-x=e^{-t}
e^{2t}={x+√(1+x^2)}^2=2x^2+1+2x√(1+x^2)
e^{-2t}=[{√(1+x^2)}-x]^2=2x^2+1-2x√(1+x^2)
e^{2t}-e^{-2t}=4x√(1+x^2)

∫√(1+x^2)dx
=∫[{cosh(t)}^2]dt
=∫(e^{2t}+e^{-2t}+2)dt/4
=(e^{2t}-e^{-2t})/8+t/2+C
=[{x√(1+x^2)}+log{x+√(1+x^2)}]/2+C

2)
a^2-b^2≠0

∫cos(ax)sin(bx)dx
=∫[sin{(a+b)x}-sin{(a-b)x}]dx/2
=[(cos{(a-b)x})/(a-b)-(cos{(a+b)x})/(a+b)]/2+C

お礼

ありがとうございました

回答No.3

jcpmutura

#2の方の
=(sin(t))' dt/(1-sin^2(t))^2=(sin(t))' dt/((1+sin(t))(1-sin(t)))
は間違いで
=(sin(t))' dt/(1-sin^2(t))^2=(sin(t))' dt/((1+sin(t))(1-sin(t)))^2
が正しいのではないでしょうか?

お礼

ありがとうございました

回答No.2

info222_

・I=∫√1＋x^2dx
x=tan(t) (|t|<pi/2)で置換積分
√(1＋x^2)=√(1＋tan^2(t))=1/√((cos^2(t))=1/|cos(t)|=1/cos(t)
dx=dt/cos^2(t)
√(1＋x^2)dx=dt/cos^3(t)=cos(t)dt/cos^4(t)
=(sin(t))' dt/(1-sin^2(t))^2=(sin(t))' dt/((1+sin(t))(1-sin(t)))
=(sin(t))' dt (1/2) {1/(1+sin(t))+1/(1-sin(t))}
I=(1/2) {ln(1+sin(t))-ln(1-sin(t))}+C
=(1/2)ln{(1+sin(t))/(1-sin(t))}+C
=(1/2)ln{(1+sin(t))^2/(1-sin^2(t))}+C
=(1/2)ln{(1+sin(t))^2/(cos^2(t))}+C
=ln{(1+sin(t))/|cos(t)|} +C=ln{(1+sin(t))/cos(t)} +C
=ln(tan(t)+1/cos(t)) +C
=ln(tan(t)+√(1/cos^2(t))) +C
=ln(tan(t)+√(1+tan^2(t))) +C
=ln(x+√(1+x^2)) +C
(ln ( )は自然対数, Cは任意定数)

・I=∫cos ax sin bx dx (ただしa^2-b^2≠0)
積和公式を用いて
I=(1/2)∫ {sin((a+b)x)+sin((b-a)x)} dx
a^2-b^2≠0より a+b≠0, b-a≠0
I=(1/2) {-cos((a+b)x)/(a+b)-cos((b-a)x)/(b-a)} +C
=-cos((a+b)x)/(2(a+b)) +cos((a-b)x)/(2(a-b)) +C
(Cは任意定数))

お礼

ありがとうございました