- ベストアンサー
積分
I=∫e^bx・sin^2(cx) dx から ∫e^(bx)・{sin(cx)}^2 dx =(1/2)∫e^(bx)・{1-cos(2cx)} dx・・・A =(1/2)e^(bx){1/b -(2c*sin(2cx)+b*cos(2cx))/(b^2 +4c^2)}・・・B となりますが、AからBにうまく求まりません。 半角公式と 部分積分を使うのは、分かるのですが・・・ AからBの過程を教えてください。
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4
定積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4 この計算の仕方が分かりません。 x=sinθとおく。dx=cosθdθ。x[0→1]がθ[0→2/π]になる。 ∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π]√cos^2θdθ ここまでは合ってますか？ 次に半角の公式を使って（この半角の公式とやらがよく分からないのですが）1/2∫[0→2/π]1+cos2θdθとなり =π/4となる様です。計算の説明を分かりやすくお願い致します。 また、π/4 は 45°で、cos(π/4)=1/√2、sin(π/4)=1/√2 ですが、それとの関係はどうなるのでしょう？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分について質問があります。
こんにちは。見ていただきありがとうございます。 ∫sin(logx)dxという問題と解いているのですが、積分ができません。どなたか分かる方いらっしゃらないでしょうか？ logx=tとおく。 x=e^t dx=x*dt より ∫e^t*sin(ｔ)dt となるまでは、分かりました。 そのあとの積分なのですが、解答見てもよくわかりません。 (1/2)*e^t*sin(t)-(1/2)e^t*cos(t)+c と書いてあります。 どの公式を当てはめたら、この答えが導き出せるのでしょうか?よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 定積分の計算
以下の定積分の計算をしたのですが、自信がありません。 間違っていないか、ご指導お願いします。 (1) ∫{0→1} x(1-x) dx = ∫{0→1} (1/2)x^2 - (1/3)x^3 dx = ∫{0→1} (1/6)(3x^2 - x^3) dx = ∫{0→1} (1/6)x^2(3-x)dx = [(1/6)x^2(3-x)]{0→1} = [(1/6)・1・(3-1)]-[(1/6)・0・(3-0)] = (1/6) (2) ∫{0→(π/2)} cos x dx 公式 ∫cos x=sin x+Cより =[sin x]{0→(π/2)} =[sin (2/π)]-[sin 0]=1-0=1 (3) ∫{0→3} 3/(x^2+9) dx 公式 ∫1/(a^2+x^2) dx=(1/a)tan^(-1)(x/a)+Cより =∫{0→3} 3/(x^2+3^3) dx =[3・(1/3)tan^(-1)(x/3)]{0→3} =[3・(1/3)tan^(-1)(3/3)]-[3・(1/3)tan^(-1)(0/3)] =tan^(-1)(1)=arctan(1)=π/4
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分
I1=∫[-∞,-∞]cos(a*x)/(x^2+b^2)dxを複素積分を使って求めます。 まず ∫[-∞,-∞]cos(a*x)/(x^2+b^2)dxの被積分関数の分子にi*sin(a*x)を （iは虚数単位）を加えても加えた部分が奇関数でかわらないので加え ると ∫[-∞,-∞]{cos(a*x)+i*sin(a*x)}/(x^2+b^2)dxとなります するとI=∫[-∞,-∞]exp(i*a*x)/(x^2+b^2)dxです。 ここで複素積分 I=∫exp(i*a*z)/(z^2+b^2)dz （積分路は実軸と虚軸の正の部分を通る 反時計回りの半径Rの半円） またI2=∫exp(i*a*z)/(z^2+b^2)dz （積分路は虚軸の正の部分のみを通 る反時計回りの半径Rの半円）を考えるとRが十分大きいとき I=I1+I2・・・(1)になります。 Iは留数定理よりI=2*π*i*Res[f,i*b]=π*exp(-a*b)/b・・・(2) I2はz=R*exp(i*θ)とおき I2=∫[0,π]exp(i*a*R*exp(i*θ))/(R*exp(i*θ)^2+b^2)dθ =∫[0,π]exp(-a*R*sinθ+)*exp(i*a*R*cosθ)*i*R*exp(i*θ)/(R^2*exp (2*i*θ)+b^2)dθ 三角不等式より 0<｜I2｜<∫[0,π]｜exp(-a*R*sinθ+)*exp(i*a*R*cosθ)*i*R*exp(i*θ)｜/｜(R^2*exp(2*i*θ)+b^2)｜dθ<π*R*exp(-a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜・・・(3) ここでsinθ >0よりでexp(-a*R*sinθ)<1なので π*R*exp(-a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜<π*R/｜-R^2+b^2｜となり π*R/｜-R^2+b^2｜はR-->∞で0なので結局 ｜I2｜-->0 なので(1)より I1=π*exp(-a*b)/bが答えです。 これはわかるのですが、スタートで i*sin(a*x)ではなく-i*sin(a*x)を加えても変わらないですよね？ そこで-i*sin(a*x)を加えて実際にやってみると (2)の部分はπ*exp(a*b)/bに変わってしまい、また (3)の部分はπ*R*exp(a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜となってしまいこれでは R-->∞で発散するように思えます。 どこがまちがっているのでしょうか
- ベストアンサー
- 数学・算数
- e^(i*n*y) の積分
e^(i*n*y) の積分 初めまして。grande と申します。宜しくお願い致します。 ∫[0, 2π] e^(i*n*x)dx = 2*π*δ(n,0) ( n = 0, ±1, ±2, ... ) (1.1) の式に関しまして、ご質問致します。 i は虚数を表しています。δは、クロネッカーのデルタです。 以下、積分区間は、0から2πとし省略させて頂きます。 オイラーの公式より、 e^(i*n*x) = cos(n*x) + i*sin(n*x) (1.2) ですので、(1.1)は、 ∫e^(i*n*x)dx = ∫cos(n*x)dx + ∫i*sin(n*x)dx (1.3) になります。(既に、この部分が違うのでしょうか・・・、とりあえず進めます） ここで、sin(n*x) は奇関数なので、積分結果が 0 になり、(1.3) は、 ∫e^(i*n*x)dx = ∫cos(n*x)dx = (1/n)*sin(2π*n) - (1/n)*sin(0*n) = 0 になります。 (1.1) の段階で、n = 0 とした場合に、(1.1) が成り立つのは承知しておりますが、解き下した場合、n = 0 とすると、1/n の部分でお手上げになってしまいます。 ご質問は、 (1.1) の式を解き下した際に、きっちりと成立することを教えて下さい。 こういう掲示板でご質問させて頂くのが初めてなので、書き方や質問の仕方等、無礼があるかもしれません、申し訳ございません。そういった点も含めて、今後学習していくつもりですので、ご配慮下さい。 ご質問の件、どうぞよろしくお願い致します。 --- grande
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分の問題
不定積分の問題ですが、部分積分法で解く問題ですが、考えても解答通りにならないので、ここで質問するに至りました。途中計算等を教えてください。お手数になりますが、どうか宜しくお願いします。 (1)∫x sec^(2)(x) dx 私が解くと、xtanx- sec^(2) + c になります。 (2)∫Tan^(-1)(x)dx (3)∫Sin^(-1) (x/3)dx (4)∫e^(-2x) sin3x dx ↑部分積分法を繰り返してもとめるのですが、どのような切り口で求めるのかが分かりませんでした。 答え (1) x tan(x) + log | cos(x) | + C (2) xTan^(-1) (x) - (1/2)log{x^(2) +1} + C (3) xSin^(-1) (x/3) + √(9-x^(2)) + C (4) {-e^(-2x)/13 } (2sin3x + 3cos3x ) + C
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました！