積分問題

質問

A=∫[0→π/2](sin^3x)/(sinx+cosx)dx
B=∫[0→π/2](cos^3x)/(sinx+cosx)dx

(1)A+Bを計算せよ。
(2)AとBが等しいことを示せ。
(3)Aの値を求めよ。

(1)A+B=∫[0→π/2]{(sin^3x)+(cos^3x)}/(sinx+cosx)dx
=∫[0→π/2](1+sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx
=∫[0→π/2][{1/(sinx+cosx)}+1]dx
=∫[0→π/2][{1/√2sin(x+π/4)}+1]dx
=[0→π/2][1/{√2log tan(x/2-π/8)}+1]dx
=1/{√2log tan(π/8)} + π/2 - 1/{√2log tan(-π/8)}
=(2/√2)log tan(π/8) + π/2

になったのですがこのような方法でよろしいのでしょうか？

(2)に関しては、どのようにして行ってよいのかわかりません。
(3)もどうようにわかりません。

教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願い致します。

回答No.7

info22 · ベストアンサー

#3,#4,#6です。
A#6の補足質問について
>>=cos^3(t)/(cos(t)+cos(t))

>=cos^3(t)/(sin(t)+cos(t))
指摘の通りです。

失礼しました。
=cos^3(t)/(cos(t)+sin(t))
と書く積りでの誤植です。

お礼

回答ありがとうございました。
良い勉強になりました。

回答No.6

info22

#3,#4です。
A#4の補足質問について

>sinx=cos(π/2-x)
これはいいですが

この後はぜんぜん何をすればいいのか、分かって見えませんね。
>ここから
> cos^3(x)=cos^3(π/2-x)
> を求めるんですよね。
> どうすれば良いのでしょうか？

すべき事は
■(sin^3x)/(sinx+cosx)
この式にx=π/2-tと置換するした式
sin^3(π/2-t)/(sin(π/2-t)+cos(π/2-t))
=cos^3(t)/(cos(t)+cos(t))
になること。

▲積分の上限と下限が
[0→π/2]から[π/2→0]
と入れ替わること及び ◆dx=-dtとなること。
これは、積分の上限と下限を入れ替える事で◆のマイナス符号が消えます。

■と▲から
A=∫[0→π/2] sin^3(x)/(sin x+cos x)dx
=∫[0→π/2] cos^3(t)/(sin t+cos t)dt
積分変数tをxに変更すれば
Bの式になります。
と示せばいいでしょう。

>（３）は（１）の答えの1/2ですよね。
ではなくてA#4に書いた
(π-1)/2
です。

> よって○は4でよいのでしょうか？
４でOKですね。

お礼

回答ありがとうございます。
理解できました。
ちなみに
>■(sin^3x)/(sinx+cosx)
>この式にx=π/2-tと置換するした式
>sin^3(π/2-t)/(sin(π/2-t)+cos(π/2-t))
>=cos^3(t)/(cos(t)+cos(t))

=cos^3(t)/(sin(t)+cos(t))

ですよね？

詳しく説明して頂きありがとうございました。

回答No.5

Tacosan

(2) についてですが, sin^3(x)=cos^3(π/2-x) からなぜ「cos^3(x)=cos^3(π/2-x) を求める」とくるんでしょうか?
#2 や #3 の「変数変換」の意味は理解できてますか?

お礼

回答ありがとうございます。
変数変換の意味を全然理解していません。
少し調べてみます。

回答No.4

info22

#3です。
積分範囲を間違えたケアレスミスです。

(1)
> A+B=∫[0→π/2]{1+(1/2)sin(2x)}dx=π
A+B=∫[0→π/2]{1+(1/2)sin(2x)}dx=(π/2)-(1/2)

(2)
は訂正なし。

(3)
(3)
> (1)より、A+B=π
A+B=(π-1)/2

>A=B=π/○
A=B=(π-1)/○
>とでてきます。丸は何が入るか分かりますね。
○の値は前と同じではありませんが分かりますか？

お礼

回答ありがとうございました。

ちなみに（２）ですが・・・。

sinx=cos(π/2-x)

ですよね。

そうすると
sin^3(x)=cos^3(π/2-x)
となります。
ここから
cos^3(x)=cos^3(π/2-x)
を求めるんですよね。
どうすれば良いのでしょうか？

（３）は（１）の答えの1/2ですよね。
よって○は4でよいのでしょうか？

回答No.3

info22

(1)は
sin^3x+cos^3x=(sinx+cosx)(sin^2x+cos^2x-sinx*cosx)
=(sinx+cosx)(1-(1/2)sin(2x))
ですから
A+B=∫[0→π/2]{1+(1/2)sin(2x)}dx=π

(2) x=π/2-tと変数変換すればB=Aとなります。

(3)
(1)より、A+B=π
(2)より、A=B
これを連立方程式として解けば
A=B=π/○
とでてきます。丸は何が入るか分かりますね。

回答No.2

tono-todo

(2)について
変数変換したら同じ積分になります。
ｚ＝π/2-x として片方を変換していくとどうですか？

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

(1) は, 多分 (sin^3 x + cos^3 x)/(sin x + cos x) の分子を因数分解する方が早いんじゃないかなぁ.
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2).
(2): sin x と cos x の関係を思い出してください. sine に対して cosine の「co」の意味は?
(3): (1) と (2) ができれば一瞬.

お礼

回答ありがとうございました。