数学の問題を解いたのですが、解答がないので答え、途中式があっているのか分からず困っています。
皆さんの力を是非お貸しください。
I f(x)=x^x(x>0)の最小値を求めよ。
＊x^xは「xのx乗」と言う意味です
私の解答)[対数を使うのでは？と思いました]
g(x)=logf(x)=xlogx
xは0に近づくにつれ、限りなく0に近くなる。
logxもxが0に近づくにつれ、logxは小さくなる。
よってxlogxは限りなく小さくなり、
最小値はない。・・・・(答え)
II ∫xe^(－ax) dx(a>0)を計算せよ。
[0 ∞]
＊∫ は定積分で∫の上側に∞、下側に0がある意味で使っています
[0 ∞]
＊e^(－ax)はeの－ax乗と言う意味で使っています。
私の解答)[部分積分を使うのでは？と思いました]
f =x f' =1 g' =e^-ax g =-a・e^-ax
∫xe^(－ax) dx=[-ax・e^(-ax)]－∫(-a・e^-ax)dx
[0 ∞] [0 ∞] [0 ∞]
=-a・e^-ax・∞+a・e^-ax ・・・・(答え)
III ∫xcos(ax)dx(a≠0)を計算せよ。
[0 1]
私の解答)(IIと同様に部分積分か？と思いました)
f =x f' =1 g' =cos(ax) g =sin(ax)
∫xcos(ax)=[xsin(ax)]－∫sin(ax)
[0 1] [0 1] [0 1]
=sin(a)+[cos(ax)]
[0 1]
=sin(a)+cos(a) ・・・・(答え)
特にIIの∫の範囲(？)に∞が入ったものを経験したことがなく、手持ちの本にも例題がなくxにそのまま代入してよいのか分かりません。
よろしくお願いします。
投稿日時 - 2008-06-15 12:41:32
>xは0に近づくにつれ、限りなく0に近くなる。
>logxもxが0に近づくにつれ、logxは小さくなる。
>よってxlogxは限りなく小さくなり、
>最小値はない。・・・・(答え)
極限の考え方が甘いです。
0*∞の形の不定形は0*∞=0になることもあるし0*∞=1になることもあるし0*∞=∞になることもあります。
ケースバイケースでしっかり調べてみないとわからないので"不定"形と呼びます。
今回の場合、結論から言ってx=0のときxlog(x)=0です。
ですが、これすら回答にはなっていません、
あなたの回答ではg(x)=log(f(x))=xlog(x)の値を考えていますね、x=0のときg(0)=0は良いのですが、今回求めたいのはf(x)の方の最小値なのです。
ですからg(x)の値を求めて満足していてはいけません。g(x)とf(x)は別物です。
また、今回のように最小値・最大値を求めろと言われたら基本を思い出して、f(x)をxで微分しましょう。f'(x)=0となるxが最小値の候補です。
今回もこの方法で求めることが出来ます。
「対数を使うのでは？」と考えることは良いのですが、もう少し落ち着いて「なんで最小値を求めるのに対数を使うんだ？」と考えてみてください。
まぁ今回の問題は微分するために対数を取る必要があるので50%は合っているのですが方向性が間違っています。
II,IIIについては「部分積分を使うのでは？」と考えるまでは合っています。
ですがその後がめちゃくちゃです。
定積分の計算を復習しましょう。定積分∫[a,b]{f(x)}dxを求めるときには、まずf(x)の原始関数F(x)を求めますよね。原始関数を求めてから積分区間の[a,b]を使って
∫[a,b]{f(x)}dx = F(a)-F(b)
としますね。
あなたの解答はこの部分がめちゃくちゃなのですよ。
>∫xe^(－ax) dx=[-ax・e^(-ax)]－∫(-a・e^-ax)dx
と書かれて、次の行でもう代入を行っていますが、これでは原始関数が求め終わっていないですよね。
右辺に∫(-a・e^-ax)dxが残っているのですから、積分が完了していません。それなのに焦って次の行程に進もうとしないでください。
また他の方も指摘されてますが、定積分なら結果は定数になるはずです。定積分が終わっても変数であるxが式に残されていると言うことは、xに値が代入されず置いてけぼりを食らったと言うことです。置いていかないであげてください。
>特にIIの∫の範囲(？)に∞が入ったものを経験したことがなく、手持ちの本にも例題がなくxにそのまま代入してよいのか分かりません。
これについてですが、広義積分のやり方を復習しましょう。
∫[a,∞]{f(x)}dx = lim[b→∞]{∫[a,b]{f(x)}dx}
です。とにかく普通に定積分を求めてから→∞の極限を取ります。
ですが、今回の場合は範囲に∞が入るとかの話の前に普通の定積分が出来ていないので間違えています。
最後にアドバイスです。「こうすれば解けるのでは？」と自分で考えられることは素晴らしいのですが、最初から最後まで意味もわからず勘で式を変形してみて勘で公式を使ってというように解いていっていませんか？
とりあえず解いてみるのも大事なのですが、式の変形や公式の適応は目的を持って行わなければ意味がありません。
はじめの一歩を踏み出すことは大事ですが目を瞑ったままではゴールまでたどり着けないのです。
ですから、問題を読んだ後には問題を解くための一番基本的な事を確認しましょう。
Iで言えば『最小値を求めるにはどうすればいいか？→微分してf'(x)=0と置けばいい』ですし、
II,IIIで言えば『定積分を求めるにはどうすればいいか？→積分して原始関数を求めればいい』ということです。
これらの一番基本的な道筋も考えずに、とりあえず変形してみるかぁと解き始めても答えまでは遠いですよ。
落ち着いて、しっかり考えて(なんとなくではいけません)しっかり目的意識を持って解きましょう。
投稿日時 - 2008-06-15 15:32:01
お礼
「最大・最小を求める時は微分せよ」ということは高校の時に聞いたことがあります。
高校の3次関数の時だったと思うのですが、受験で、3次(時には4次)でばかりでこのことを使っていたので、xlogxの時にはほとんど思いつきませんでした・・・・。
定積分に関するご指摘もです。
＞定積分∫[a,b]{f(x)}dxを求めるときには、まずf(x)の原始関数F(x)を求めますよね。原始関数を求めてから積分区間の[a,b]を使って
∫[a,b]{f(x)}dx = F(a)-F(b)
ということは分かっているのですが、eやら○乗に-axなどが入っているとどうしてもそちらに目が向いてしまって、定積分に関することがおろそかになってしまいました。
定積分についてもう一度練習してから広義積分について復習してみようと思います。
＞最初から最後まで意味もわからず勘で式を変形してみて勘で公式を使ってというように解いていっていませんか？
確かにその通りかもしれません。見慣れない式に出会うとできなかったらどうしよう・・・、そこで思考がstop!→適当に変形、ということが多々あります。
直そうと思ってはいるのですが、小学校6年生くらいからそれを続けてしまってます[ToT]
今後、この問題で一体何がしたいのかを押さえ、落ち着いてゆっくり考えていこうと思います。
回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2008-06-15 16:47:05
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ベストアンサー以外の回答（3件中 1～3件目)
I
> g(x)=logf(x)=xlogx
> xは0に近づくにつれ、限りなく0に近くなる。
> logxもxが0に近づくにつれ、logxは小さくなる。
log x→-∞ですから
> よってxlogxは限りなく小さくなり、
> 最小値はない。・・・・(答え)
x log x =(log x)/(1/x)
→ (log x)'/(1/x)'=(1/x)/(-1/x^2)=-x ←ロピタルの定理
→0 (x→+0)
∴x^x=e^(x log x)→e^0=1 (x→+0)
これは最小値ではないですね。
f(x)=x^x=e^(x log x)
f'(x)={(log x)+1}e^(x log x)
f'(x)=0, x=1/e
0<x<(1/e)でf'(x)<0 単調減少
(1/e)<xでf'(x)>0 単調増加
最小値f(1/e)=e^(-1/e)
II
>∫[0 ∞] xe^(-ax) dx(a>0)を計算せよ。
> =-a・e^-ax・∞+a・e^-ax ・・・・(答え)
間違いです。
IIもIIIも部分積分法が違います。ちゃんと復習して下さい。
不定形極限の計算法もIを含めて、ちゃんと復習して下さい。
IIだけ計算法を書いておきます。
IIIについても部分積分法を復習しなおして下記の解答を参考に計算をしてみてください。
=[x・e^(-ax)/(-a)] [0 ∞]-∫[0 ∞](e^(-ax)/(-a))dx
=-(1/a)lim[x→∞] [x・e^(-ax)] ← ∞×0型
+(1/a)∫[0 ∞] e^(-ax) dx
=-(1/a)lim[x→∞] [x/e^(ax)] ← ∞/∞型
+(1/a)∫[0 ∞] e^(-ax) dx
=-(1/a)lim[x→∞] [1/{ae^(ax)}] ← ロピタルの定理適用
+(1/a)∫[0 ∞] e^(-ax) dx
=(1/a)∫[0 ∞] e^(-ax) dx
=(1/a)[e^(-ax)/(-a)] [0 ∞]
=1/a^2
III
> =sin(a)+cos(a) ・・・・(答え)
部分積分法が間違っていますので結果は当然間違いです。
投稿日時 - 2008-06-15 15:25:56
お礼
No.1～No.4の方の回答を読ませていただいて自分の勉強不足が痛感させられます。
(まだロピタルの定理というのを知りません・・・。不定形極限などを聞くと、う～ん、何なんだ？という感じです。)
計算法を書いていただいて、助かります。
(もちろん自分でもう一度解いてから見ます)
部分積分法が間違っているというのは少しショックです・・・。
教科書の例題等の計算ではそこそこあっていたのですが・・・。
ただの計算で終わらず、問題を解くときに手段として使えるくらいまで頑張ってみます。
回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2008-06-15 16:25:39
方針の立て方はII、IIIはあっていると思いますよ。
ただ、途中計算が間違っているケースがいくつか・・・。
例えばcos(ax）の積分のように複合的なものの微分、積分の計算を見直すこともオススメします。
∞が入っているものは、「でっかいものがｘに入っていればなにに収束するか」を考え、収束する値を答えればよいわけです。
例えばe^-axのx=∞は0に収束するわけなので、その部分の値は0とすればいいですよ。∞-c（←c:定数）ならば、でっかいものからちょっとした数をひいてもでっかいから∞-c≒∞と考えます。
Iにもどりますが、最大、最小の問題では微分してみるとよいのではないでしょうか。微分することで接線の傾きがわかるので、おおよそのグラフを得ることが出来ますよ。
前のかたの回答にあるとおり、設問中の問題となっている変数がそのまま答えとなることはありません。これでは途中の状態になってしまいます。
これを参考に、もう一度解きなおしてみてはいかがでしょう？
投稿日時 - 2008-06-15 14:00:51
お礼
回答ありがとうございます。
計算間違いは大学に入ってから本当に多いです(ToT)
高校の数学は適度なスピードだったのですが、大学では高校の5倍のスピードで行くと言われ、ついていけてないです。
複合的なものの微分、積分の計算とQmvさんがおっしゃる微分、積分の計算も昨日大体の感じをやっと掴んだだけで・・・。
まだまだ勉強不足みたいです。
＞e^-axのx=∞は0に収束するわけなので、その部分の値は0とすればいいですよ
これも指摘されたり、よく考えてみれば分かるのですが、問題を解く際になると忘れてしまうものですね。
もう一度やってみます。
回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2008-06-15 16:03:14
>logxもxが0に近づくにつれ、logxは小さくなる。
ふんふん。
>よってxlogxは限りなく小さくなり、
残念な結果におわりました。
> =-a・e^-ax・∞+a・e^-ax ・・・・(答え)
答えに x やら ∞ を書いた時点でおかしいと思ってほしい。
以下はもう読んでない。
投稿日時 - 2008-06-15 12:47:01
お礼
＞答えに x やら ∞ を書いた時点でおかしいと思ってほしい。
とありますが、私自身もおかしいかもとは薄々感じています。
だからここで質問させていただいたのですよ。
質問文中に有るとおり、∫の範囲(？)に∞が入ったものを経験したことがなく、手持ちの本にも例題がない・・・。
ですので、実数の時と同じように代入してみようと思ったのです。
私の答案は全部読んでいただけないほどひどい答えみたいです。
また勉強していきたいと思います。
回答ありがとうございました。
投稿日時 - 2008-06-15 15:33:17
