0以外の実数の定義域と値域を考慮した関数のパラメータ a,b の求め方
- 与式の値域と不等号の向きが一致するため、(1)と(2)が成り立つ
- 不等号の向きが異なる場合には(1)と(2)は成り立たない
- 実数条件を用いることでパラメータ a,b の値が求められる
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「a,bを定数とする。0以外のすべての実数を定義域
「a,bを定数とする。0以外のすべての実数を定義域とする関数y＝x＋a/x＋bがy≦1,y≧5を値域とするとき、a,bの値を求めよ。」という問題の解答で、 与式の両辺にxをかけて分母を払い、 x＾2＋(b－y)x＋a=0 実数条件より、判別式≧0 よってy＾2－2by＋b＾2－4a≧0 …(1) y≦1,y≧5より (y－1)(y－5)≧0 y＾2－6y＋5≧0…(2) 不等号の向きが同じで、(1)と(2)が一致するから 2b=6, b＾2－4a=5 よってa=1,b=3 というのがありました。 1. どうして(1)と(2)が一致するのでしょうか？ 与式の値域だからですか？ だとしてもいまいちピンとこないのですが… 2. 「不等号の向きが同じで」とありますが、 向きが違った場合はこれが成り立たないのですか？ それとも、符号を変える等の過程が必要になるのでしょうか？ 3. そもそも、実数条件を用いるとなぜ a,bの値が求められるのでしょうか？ (微分をして求める方法があることはわかっています。) これらのことについて、わかる方いたら解説をお願いしたいです。全部でなくても構いませんので、よろしくお願いします。
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(1) 与式の値域だからと言ってもいいよ。 実数条件というのはxが実数になる条件であって，それに伴ってyの範囲も決まります。それはとりもなおさず値域と言うことです。 (2) 関数y＝x＋a/x＋bの値域がy≦1,y≧5だったら，不等号の向きは同じにしかなりません。 向きが違ったら矛盾していることになります。 (3) どんな求め方をしてもいいけど，たまたまそういうやり方を選んだだけです。わかっている条件を式にすれば，いろいろなことが明らかになると言うだけのことです。
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