f(x) = ln x - 0.5 x +1

質問

f(x) = ln x - 0.5 x +1
x=2 の時の計算の仕方がわかりません。（とても簡単なんでしょうが。。。）
f(2) = ln 2 - 0.5(2) + 1 = ln 2
ln 2 は　e　を何乗かしたものですがその計算の仕方がわかりません。

教えて頂けますか？

回答No.5

staratras · ベストアンサー

No.2,3,4です。No.2の近似値の計算に誤りがありましたので、第10項までの和を示します。
第3項までの和は、約0.6930でした。第ｎ項までの和を求めると、少なくとも小数第ｎ位までは正しい値が得られています。

お礼

ご親切に回答頂き有り難うございました。　
又宜しくお願い致します。　：）

回答No.4

staratras

No.3です。肝心の最後の1行が欠けておりました。失礼しました。

ln(n+1)-ln(n)=2{x+x^3/3+x^5/5+…+x^(2n+1)/(2n+1)+…}
　　　　　 =2{1/(2n+1)+1/(3(2n+1)^3)+1/(5(2n+1)^5)+…}

お礼

わざわざ訂正して頂き有り難うございます

回答No.3

staratras

No.2です。ln(n+1)-ln(n)の式を導いたやり方を補足します。

1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+…　(等比級数）を考えます。
これは|x|<1 の範囲で収束しますので、0からx（|x|<1)まで積分すれば、

-ln(1-x)=x+x^2/2+x^3/3+…x^n/n+…　　xを-xに変換すれば
ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+…(-1)^(n-1)・(x^n/n)+…

この2式を加えれば、xの偶数乗の項がすべて消えて
（1/2)ln=ln{(1+x)/(1-x)}=x+x^3/3+x^5/5+…+x^(2n+1)/(2n+1)+…

ここでx=1/(2n+1) (n≧1)とおけば
ln{1+(1/2n+1)/1-(1/2n+1)}=ln{(2n+2)/2n}=ln{(n+1)/n}=ln(n+1)-ln(n)だから
ln(n+1)-ln(n)=2{x+x^3/3+x^5/5+…+x^(2n+1)/(2n+1)+…}

お礼

とても丁寧に説明して頂き有り難うございます

回答No.2

staratras

>ln 2 は　e　を何乗かしたものですがその計算の仕方がわかりません。

これを手計算で求めたいならば、できるだけ急速に収束する級数を使うのが有利です。
例えば、下の級数でn=1として初めの3項だけを計算してみます。

ln(n+1)-ln(n)=2{(1/(2n+1)+1/3(2n+1)^3+1/5(2n+1)^5+…}

ln(2)≒2{1/3+1/81+1/98415}≒2(0.33333+0.01234+0.00001)≒0.6931

お礼

返事が遅くなってゴメンなさい。
書いて下さった事とても勉強になりました。
ln2　は普通に計算したら出来るものだと思っていました、知らない事だらけです。。。
有り難うございました。

回答No.1

bran111

f(x) = ln x - 0.5 x +1
x=2 の時の計算の仕方がわかりません。（とても簡単なんでしょうが。。。）
f(2) = ln 2 - 0.5(2) + 1 = ln 2

ここまではOKです。

ln 2 は　e　を何乗かしたものですがその計算の仕方がわかりません。

e=2.718281828....

で2より大きい数字です。よってln2は1より小さい数字です。具体的には

ln2=0.6931....

この数字は自然現象において割合頻繁に出てくる数字で、科学者、技術者は記憶しています。

どうしても計算したいなら級数展開

log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+-...

にx=1を代入して

ln=log2=1-1/2+1/3-1/4+1/5...

を計算します。10項目まで計算してみると

1-1/2+1/3-1/4+1/5....-1/10＝0.6456...

となり

ln2=0.6931....

とはまだ差があります。一般に対数関数の収束は良くないといわれるゆえんです。

お礼

返事が遅くなってゴメンなさい。
書いて下さった事とても勉強になりました。
ln2　は普通に計算したら出来るものだと思っていました、知らない事だらけです。。。
有り難うございました。