ゼロに無限大を掛け算したらいくつになりますか？

質問

ゼロに何を掛けてもゼロだと習いました。
無限大に何を掛けても無限大だと習いました。それでは、ゼロと無限大を掛け算したら何になるのでしょうか？

回答No.14

stomachman

失礼ながらcrimsonさんの論法には同意いたしかねます。

［１］　無限大が数（実際は数’としなくてはなりません）であると仮定するまでは良いのですが、それだけでなく「無限大はただひとつしかない」という事までいつの間にか仮定しちゃってます。つまり、crimsonさんは
×「無限大が数であると仮定すると矛盾する」
ということは証明しておらず、代わりに
○「無限大（であるような数’）に関する計算を考える以上は、無限大（であるような数’）はただひとつ存在するのではなく、無限個ある。」
ということを証明なさっているんです。

　いろんな無限大（であるような数’）があって良いので、たとえば二つの無限大であるような数’aとb (a≠b)があって、
1×a＝a
2×a＝b
しかし
1×a≠2×a
ですから、何の矛盾も起こりません。

［２］　論理学の方は、ブール代数の類推で話をされているようですが、残念ながら誤りです。
> 「存在する」という状態に対し、「∞」は「真」で、
> 「ゼロ」は「偽」となります。
ここまでは『存在』という言葉を導入しただけの事。きちんと書けば、S(x)を「xが『存在』する」という意味の命題として
S(∞)=真
S(0)=偽
ここで言う『存在』とは、crimsonさんが作った言葉に過ぎませんので、普通の「存在」を意味してはいません。だから「S(∞)=真で、S(0)=偽だ」と言われても「はあ、そうですか」としか言いようがないんですが、

> そして、論理上の積は両方の要素が「真」同士でなければ
> ならないので、この場合の結果は「偽」となります。
これは間違いです。もとより
S(0× ∞) = S(0) ∧S(∞) <---(間違い)
などという展開はできません。

［３］　
> 数学的に言えば この問題は成立しません。
超準解析は数学ですし、広く使われていて、決して特殊なものではありません。数学的に「無限大」を正しく扱う方法は知られています。（もちろん「無限」はそう簡単には扱えませんが。）