算数の問題（中学入試レベル？）

質問

1年生の時に、基礎学力調査ということでやったのですが、下記の文章問題２問が解けませんでした。その時の問題用紙が久々に見つかったので気になったので、わかる方に解説をお願いしたいです。ちなみに私数学苦手な人です。

(1)ＡＢＣの三人は合わせて6万円を持っています。ＣはＢに2千円借りており、それを返済したところＡの所持金がＣの2倍となりました。この後三人はレストランへ行き、会計は4千円でＡが支払いました。するとＡの所持金とＢとＣの所持金の合計が等しくなりました。
この時、三人の今の所持金をそれぞれ求めなさい。

(2)ある5ケタの数aを2006で割ると商は偶数であまりが２、5で割ると4桁の数で割り切れ、1000の桁から大きい順に連続した数となりました。（例：9876）この時aを求めなさい。

PS:(2)については周りで答えが出せない疑惑がありました。

回答No.3

uphome · ベストアンサー

(1)
3人の所持金の合計は、最初は60000円。
レストランの支払いで4000円減ったので、今の合計は56000円。
ここで、Aの所持金はBとCの所持金の合計と等しいので、A=B+C
これを、A+B+C=56000に当てはめると、
A+A=56000
つまり、A=28000円

レストランの支払いをする前のAの所持金は、28000+4000=32000円
これがCの所持金の2倍なので、
C×2=32000
C=16000

Bの所持金は3人の合計から、
B=56000-(28000+16000)
B=56000-44000
B=12000

∴A28000円, B12000円, C16000円

(2)
aを2006で割ると、商も余りも偶数なので、aは偶数
5で割り切れるので、aは5の倍数
つまり、aは10の倍数

aは10の倍数なので、5で割ると偶数になる
aを5で割ると4桁の大きい順に連続した数になるので、商になる可能性があるのは、9876、7654、5432、3210の4通り

これを5倍にすると、49380, 38270, 27160, 16050
これを2006で割ると、24(余り1236), 19(余り156), 13(余り1082), 8(余り2)

∴a=16050

お礼

ありがとうございます。
ベストアンサーに選ばせていただきました。

回答No.6

staratras

No.5です。(2)のもう一つの別解です。

aを5で割った商の1の位の数字をnとする。（nは整数で、0≦n≦6）
a/5=1000(n+3)+100(n+2)+10(n+1)+n=1111n+3210
したがって　
a=5555n+16050=2006×2n+1543n+2006×8+2=2006(2n+8)+1543n+2
ここで、1543は素数であり、2006=2×17×59　であるから
0≦n≦6 の範囲で　1543nが2006の倍数となるのはn=0 のときのみである。

n=0のとき　aを2006で割った商は8で偶数であり、あまりは2である。
またa/5=3210 かつ　a=16050（５桁の整数）となり題意を満たす。

答え　a=16050

回答No.5

staratras

(2)の別解です。

2006で割った商が偶数であまりが2だから、a=2006・2x+2
すなわち、a=4012x+2 とおける。（xは整数）

これを5で割った商が3210以上、9876以下であるから
3210≦(4012x+2)/5≦9876
4≦x≦12.3… 　…(1)

またa/5=802x+(2x+2)/5 であり、これが整数だから
偶数2x+2は５の倍数となるので10の倍数である。
2x+2=10n　x=5n-1 (nは整数）の形で表せる。

(1)の範囲でこれを満たす整数xは、x=4,x=9のみである。

x=4のとき　a=16050 , a/5=3210 これは題意を満たす。
x=9のとき　a=36110 , a/5=7222 これは題意を満たさない。

答え　a=16050

回答No.4

info222_

(1)三人の今の所持金をそれぞれa円, b円, c円とし、最初もっていた所持金をそれぞれx円,y円, z円として与えられた条件の関係を式に直します。

>ＡＢＣの三人は合わせて6万円を持っています。
x+y+z=60000 ...[1]
>ＣはＢに2千円借りており、それを返済したところＡの所持金がＣの2倍となりました。
>するとＡの所持金とＢとＣの所持金の合計が等しくなりました。
c=z-2000 ...[2]
b=y+2000 ...[3]
x=2c ...[4]
>この後三人はレストランへ行き、会計は4千円でＡが支払いました。
>するとＡの所持金とＢとＣの所持金の合計が等しくなりました。
a=x-4000 ...[5]
a=b+c ...[6]

後は[1]～[6]からa,b,cを求めればいいでしょう。
[2],[3],[4]のx,y,zを[1]に代入して
2c+b+c=60000 → b=60000-3c ...[7]
[4],[5]から
a=2c-4000 ...[8]
[7],[8]を[6]に代入して
2c-4000=60000-3c+c → 4c=64000 → c=16000(円) ...[9]
[7],[8]に[9]を代入
a=28000(円), b=12000(円) ...[10]
[9],[10]のa,b,cが(答)です。

なお、A,B,Cの最初の所持金x,y,zは、[2],[3],[4]から
x=32000(円), y=10000(円), z=18000(円)
となります。

(2)
>ある5ケタの数aを2006で割ると商は偶数であまりが２、
10000≦a≦99999
a=2006*2n+2

>5で割ると4桁の数で割り切れ、1000の桁から大きい順に連続した数となりました。
a=5m(1000(k+3)+100(k+2)+10(k+1)+k)=5m(1111k+3210)
0≦k≦6 ...(★), 10000≦a≦99999
10000≦5012n+2≦99999
9998≦5012n≦99997
2≦n≦19
10026≦a=5012n+2≦95230
10026≦a=5m(1111k+3210)≦95230
2006≦a/5=m(1111k+3210)≦19046
3210≦a/5=m(1111k+3210)≦9876

(★)を満たす整数kについて条件を満たす(m,a,n)を求めてみる。
k=0
3210≦a/5=3210m≦9876
1≦m≦3
∴m=1, a/5=3210, a=16050
a=5012n+2=16050, 5012n=16048, n正整数なので不適。
k=1
3210≦a/5=4321m≦9876
1≦m≦2
∴m=1, a/5=4321, a=21605=5012n+2, 5012n=21603, n正整数なので不適。
k=2
3210≦a/5=5432m≦9876
∴m=1, a/5=5432, a=27160=5012n+2, 5012n=27158, n正整数なので不適。
k=3
3210≦a/5=6543m≦9876
∴m=1, a/5=6543, a=32715=5012n+2, 5012n=32713, n正整数なので不適。
k=4
3210≦a/5=7654m≦9876
m=1, a/5=7654, a=38270=5012n+2, 5012n=38268, n正整数なので不適。
k=5
3210≦a/5=8765m≦9876
m=1, a/5=8765, a=43825=5012n+2, 5012n=43823, n正整数なので不適。
k=6
3210≦a/5=9876m≦9876
m=1, a/5=9876, a=49380=5012n+2, 5012n=49378, n正整数なので不適。
以上から条件を満たす(m,n,a)の組が存在しないので、条件を満たす5ケタの数aは存在しない。(2)は(答) aは存在しない。となる。

回答No.2

tonightrev

少々忙しいため(1)のみの回答お許しください。
まず、Aの所持金を60000-x-y、Bの所持金をx、Cの所持金をyとします。(合計60000)
まず、CがBに2000円を返すと、Aの所持金はそのまま、Bの所持金はx＋2000、Cの所持金はy-2000です。
このとき、Cの所持金がAの2倍ですから、60000-x-y=2×(y-2000)、これを整理するとx=64000-3y となります。これをBの所持金x＋2000に代入すると、Aの所持金は2y-4000(Cの倍)、Bの所持金は66000-3y、Cの所持金はy-2000、合計で60000です。
最後に、Aが4000円払うと、Aの所持金は2y-8000、合計は60000-4000=56000です。A=B＋C、A＋B＋C=56000より、2A=56000、A=28000です。
このときAは2y-8000ですから、2y-8000=28000、y=18000です。これをA、B、Cにそれぞれ代入し、
A=28000/B＝12000/C=16000
となります。
文字を人数-1つ設定し、与えられた条件を元に減らしていくことができれば大丈夫です。

回答No.1

gohtraw

（１）
CがBに2000円返してもBとCの所持金の合計は変化しません。従って、レストランでの
支払い後、3人の所持金の合計は６００００－４０００＝５６０００円で、BとCの
所持金の合計は28000円、Aの所持金も２８０００円です。

従って、レストランでの支払い前、Aは32000円持っていた訳で、Cの所持金（借金返済後）はその半分で１６０００円。よってレストランでの支払い後、Bの所持金は12000円
となります。

（２）
ａを２００６で割ると商が偶数で余りが６なのだから、ａは偶数です。従ってこれを５で割った商も偶数である必要があります。以上から、ａを５で割った商の候補は
9876
7654
5432
3210
のいずれかであり、これらに対応するａの候補は
49380
38270
27160
16050
のいずれかです。この４つを２００６で割ってみて、余りが２になるかどうか
確認すればいいと思います。