分からない問題があります（恒等式）

質問

・x^3 + ax^2 + bx -8　で割った時のあまりが x-13　であるという。定数a,bの値を求めよ。

等式　A=BQ+R　を活用すると問題集には書いてあったのですが、

（割られる式）　＝　（割る式）（商）＋（余り）

・割られる式　＝　x^3 + ax^2 + bx -8

・割る式　＝　x^2 + 1

・商　＝　x + c

・余り　＝　x -13

どうして商は　x + c　なのでしょうか？　+ c　というのがよく分かりません。

商がxだけとは限らないからでしょうか？

回答お願いします。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

一般に、n 次式を m 次式で割った商は n-m 次以下の多項式です。
丁寧にやれば 商 = dx+c と置くところで、d ≠ 0 とも限らないのですが、
x^3+ax^2+bx-8 を x^2+1 で割るなら d = 1 は明らかだから、
適当に省略して、その解答例のように書いてみたのでしょう。

ついでに c = a も、明らかと言える程度ですが、
そこまで「明らか」で済ませてしまうと、略しすぎで
解答方針が見えなくなってしまいそうなので、その辺のところにしておいた
のだと思います。

一旦 商 = dx+c と置いて計算に持ち込んだほうが、丁寧です。

回答No.3

noname#187220

この問題の場合は x^3 + ax^2 + bx -8 を x^2 + 1 で割った商は
x+a です。（実際に割ってみました。）
c を使っていたのがわかりにくかったですね。
商は x-13 なので
x^3 + ax^2 + bx - 8 = (x^2 + 1)(x + a) + x - 13
となります。
右辺 = x^3 + ax^2 + 2x + a - 13
上の等式より、
(b-2)x - a + 5 = 0
x= 0 の時、a = 5
(b-2)x = 0
x≠0 の時 b=2
(a,b) = (5,2)
です。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

asuncion

＞・x^3 + ax^2 + bx -8　で割った時のあまりが x-13　であるという。定数a,bの値を求めよ。

仮に、
x^3 + ax^2 + bx - 8

『を x^2 + 1』

で割ったときのあまりが x - 13 である。
というのが正しい問題文であるとします。

そうすると、割られる式と割る式の最高次どうし（つまりx^3 と x^2）を比べることで、
商は1次式で、その係数は1であることがわかります（x^3 ÷ x^2 = xだから）。
よって、商はx + cという1次式の形をしています。
cがたまたま0だったら商はxとなりますが、この段階ではcの値は不明です。

よって、
x^3 + ax^2 + bx - 8 = (x^2 + 1)(x + c) + x - 13
となります。
右辺を整理します。
(x^2 + 1)(x + c) + x - 13
= x^3 + cx^2 + x + c + x - 13
= x^3 + cx^2 + 2x + c - 13

これがx^3 + ax^2 + bx - 8と等しいので、各係数を比べて
c = a
2 = b
c - 13 = -8
となります。
c = 5ですから、
(a, b) = (5, 2)となります。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

asuncion

＞・x^3 + ax^2 + bx -8　で割った時のあまりが x-13　であるという。定数a,bの値を求めよ。

この問題文は正確ですか？

＞・割られる式　＝　x^3 + ax^2 + bx -8
＞・割る式　＝　x^2 + 1

ここと食い違っています。
何が本当のことなのでしょうか。

お礼

すいません。問題文が間違っていました。