幾何学の一次元射影変換の問題を教えて下さい

質問

この問題が分かりません。分かる方お願いします。
問題：
f(z)=(az+b)/(cz+d) (ad-bc≠0)
で定義される写像f:P¹(C)=C∪{∞}→P¹(C)=C∪{∞}を考える。
(1)f(z₂)=0、f(z₃)=1、f(z₄)=∞　　(ただしz₂、z₃、z₄は≠∞)つまり、
az₂+b=0、az₃+b=cz₃+d、cz₄+d=0のとき、
f(z)={(z₃-z₄)(z-z₂)}/{(z₃-z₂)(z-z₄)}
であることを示しなさい。
(2)f(∞)=a/cなので、f(∞)=0ならばa=0である。さらにf(0)=∞、f(1)=1のとき、f(z)はどんな関数か答えなさい
という問題です。お願いいたします

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

f(z)=(az+b)/(cz+d) (ad-bc≠0)
で定義される写像f:P¹(C)=C∪{∞}→P¹(C)=C∪{∞}を考える。

(1)f(z₂)=0、f(z₃)=1、f(z₄)=∞　　(ただしz₂、z₃、z₄は≠∞)つまり、
az₂+b=0、az₃+b=cz₃+d、cz₄+d=0のとき、
f(z)={(z₃-z₄)(z-z₂)}/{(z₃-z₂)(z-z₄)}
であることを示しなさい。

[解]

f(z)=(az+b)/(cz+d)=(z+b/a)/(cz/a+d/a) (1)

b/a,c/a,d/aをz2、z3、z4で表せばよい。

az2+b=0、az3+b=cz3+d、cz4+d=0より

az2+b=0　⇒　b/a=-z2 (2)

az3+b=cz3+d　⇒　z3+b/a=cz3/a+d/a (3)

cz4+d=0　⇒　d/a=-cz4/a (4)

(2),(4)を(3)へ代入

z3-z2=cz3/a-cz4/a=(c/a)(z3-z4)　⇒　c/a=(z3-z2)/(z3-z4) (5)

(4)に代入

d/a=-z4(z3-z2)/(z3-z4)　　　　　　　　　　　　(6)

(2),(5),(6)を(1)に代入

f(z)=(z+b/a)/(cz/a+d/a)=(z-z2)/[z(z3-z2)/(z3-z4)-z4(z3-z2)/(z3-z4)]

=[(z3-z4)/(z3-z2)][(z-z2)/(z-z4)]=[(z3-z4)(z-z2)]/[(z3-z2)/(z-z4)]

(2)f(∞)=a/cなので、f(∞)=0ならばa=0である。さらにf(0)=∞、f(1)=1のとき、f(z)はどんな関数か答えなさい

[解]

f(∞)=a/c=0　⇒　a=0

f(0)=b/d=∞　⇒　d=0

f(1)=(a+b)/(c+d)=1　⇒　b=c

f(z)=(az+b)/(cz+d)=b/(cz)=1/z

お礼

ありがとうございます。
とても分かりやすかったです。