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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:計算の問題ですが)

複素数の計算問題でIm(az+b/cz+d)>0を証明する方法

このQ&Aのポイント
  • この問題では、複素数z=p+qiにおいて、qをzの虚部としてImzで表します。
  • 実数a、b、c、dがad-bc=1を満たすとき、Imz>0ならばIm(az+b/cz+d)>0となります。
  • 一つの解法では、分子(ap+aqi+b)を(cp-cqi+d)で割り、簡略化することで答えが(ad-bc)qとなることがわかります。

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回答No.1

素朴に計算してみましょう。Text 形式なのでちょっと見にくいと思いますが、後は御自分で。 az+b = a(p+qi) + b = (ap+b) + (aq)i cz+d = (cp+d) + (cq)i 分母が、cz+d = (cp+d) + (cp)i なので、分母、分子に (cp+d) - (cp)i をかけると、 分母は、(cp+d)^2 + (cp)^2 分子は [(ap+b) + (aq)i][(cp+d) - (cq)i] = (ap+b)(cp+d) + (ap)(cp) + [ap(cp+d) - cp(ap+b)]i になるので、この i に対する係数は、 分子 aq(cp+d) - cq(ap+b) = q(ad - bc) 分母 d^2 + 2cdp = d(d + 2cp) となるので、この分母は Imz = q > 0 なので、必ず正の値になり、 分子は ad - bc = 1 と仮定されているので q になります。 したがって、Imz = q >0 であれば当然正になります。 この問題の解法のポイントは、分母分子がともに複素数の数のときは、分母分子両方に分母の共役な複素数をかけるところにあります。

bamobamo12
質問者

お礼

お礼が遅くなってしまいすいませんでした やっと納得がいきましたありがとうございました

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