- 締切済み
不等式の証明
a>1のとき,a(x-1)<x^aー1<ax^(a-1) *(x-1) (x>1) の証明問題です 分かる方がいたら教えてください ちなみに微分法の範囲です
- 12254068111
- お礼率27% (3/11)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
みんなの回答
- akinomyoga
- ベストアンサー率85% (100/117)
(解法1) 愚直にやるならば f1(x) = 真ん中 - 左辺, f2(x) = 右辺 - 真ん中 として f1(1) = f2(1) = 0, および f1(x), f2(x) が x > 1 で単調増であること: f1'(x) > 0, f2'(x) > 0, (x > 1) を言えば良いです。 実際に、 f1(x) = x^a - 1 - a(x-1), f2(x) = ax^(a-1) (x-1) - x^a + 1, f1(1) = 0, f2(2) = 0, f1'(x) = a (x^a - 1) > 0, (x > 1), f2'(x) = a(a-1) x^(a-2) (x-1) > 0, (x > 1), となるので f1(x) > 0, f2(x) > 0, (x>1) より a(x-1) < x^a-1 < ax^(a-1) (x-1)■. (解法2) 或いは、不等式を見て気付けば以下の様にできます: f(x) = x^a とします。f'(x) = a x^(a-1) は単調増なので、 f'(1) < f'(t) < f'(x), (1 < t < x). 両辺 ∫[t=0~x]dt 積分をすると、 f'(1) (x-1) < f(x) - f(1) < f'(x) (x-1). f, f' を代入すると、 a(x-1) < x^a-1 < ax^(a-1) (x-1)■.
関連するQ&A
- 不等式の証明について
(1) 1-x^2 < exp(-x^2) < 1/(1+x^2) を証明せよという問題で 左側は、差をとって微分で証明できたのですが、右側ができません。 g(x)=1/(1+x^2)-exp(-x^2) とおいて g'(x)=(-2x)/〔(1+x^2)^2〕+2x*exp(-x^2) と微分した後どうすればよいのでしょうか? 左側についても、より明快な証明があるのでしょうか? 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明
不等式の証明 今私はいろいろな不等式についてまとめを作っているのですが、証明の仕方がわからないものと例題が見つからないものあるのです。 よかったら教えていただけないでしょうか? 証明の仕方については、下の例のように方針も書いてくれるとありがたいです。 教えていただきたいものをはいくつかあるのですが、1つだけでも知っているものがあればお願いします 無いとは思いますが、私は高校3年生なので、大学に入ってからじゃないと習わないものなどはなるべく避けてほしいです (例) □□をしたいのでまず〇〇を考える 次に~~ では教えていただきたいものを書きます。 1:「a<b,x<y」のとき「ax+by>ay+bx」 2:1の3文字ずつバージョンなのですが、私の使っている参考書や問題集に載っていなかったので証明してほしい式すら書けません。ごめんなさい。 3:f(x)が下に凸のとき、{f(a)+(b)}/2≧f{(a)+(b)/2}の例題
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分積分を利用した不等式の証明
微分積分の範囲を勉強しているのですが以下の問題が全く分かりません…。 微分してみましたが、汚い式になった上に整理出来そうにありません…。 整理できるのでしょうか…証明方法を教えてください…。 a、pがa>0、0<p<1を満たす定数とする。関数f(x)=x^p+a^p-(x+a)^p、ただしx>0、の増減を調べることにより次の不等式が成り立つことを示せ。 a^p+b^p>(a+b)^p、ただしa、b>0
- 締切済み
- 数学・算数
- 不等式の証明です。ヒント下さい
全ての実数xに対して sin((x^2)π)+sin(πx)<2 が成り立つことを証明せよ・・・という問題です。 さっぱりわかりません。 左辺を和積の公式で積に直すのかな??そのあとわかりません。 y=・・・と置いて微分して不等式の証明かな???微分したんですがこれもさっぱり後が進みません。 何かヒントを教えて下さい。よろしくお願いします。 m(_ _)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数II 不等式の証明
「a,b,x,yが実数のとき、不等式√a²+b²+1√x²+y²+1≧|ax+by+1|が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。」という問題の求め方がわかりません。平方して差をとるのは分かるんですか、肝心な計算ができません。絶対値がついているものを二乗するとどう変化するのですか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 不等式の証明
実数a>0,b>0,c>0のとき、、 a/√(a^2+8bc)+b/√(b^2+8ac)+c/√(c^2+8ab)>=1 を示せ。 1/√(1+8*b/a*c/a)+1/√(1+8*a/b*c/b)+1/√(1+8*a/c*b/c)>=1 を示すことになる。 b/a=x,c/b=y,a/c=zとおくと、xyz=1。 1/√(1+8x/z)+1/√(1+8y/x)+1/√(1+8z/y)>=1 このあと、z=1/xyとして、zを消去して、不等式の左辺のxを固定して、yで微分して、 最小値をもとめ、次にxで微分して、最小値を求める。という流れが頭の中では考えられるのですが 計算を始めると、分けが分からなくなります。 この種の3つの文字がある場合の不等式は、良いアイデアが思い浮かばないと証明できないことが 多いと思いますが、1文字消去で、固定して微分するという方法は計算が進めば、どんな場合でも使えると思います。 この問題の場合、この方針でいったい解けるのでしょうか。それだけでもわかれば、力が沸きもう一度やってみようという気持ちになります。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数III微分不等式の証明
数III微分不等式の証明x≧0のときの証明なのにx>0のときf`(x)>0とするときやx≧0のときf`(x)≧0とするのはなぜですか。問題からどうやって見分けるのでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数