畳み込み積分の積分区間の特定について

質問

統計の参考書中に、畳み込み積分の解説がされており、確率変数X、Yが独立ならば
f_XY(x,y)=f_X(x)・f_Y(y)と変形でき、

T=X+Yと新しい確率変数を定義した場合、Tの確率密度は
f_T(t)=∫-∞→∞　f_X(x)f_Y(t-x) dx

とあらわせる。
と書いてありました。
ここまではいいのですが次の例題で早くもわからなくなりました。

例題　ではX,Y独立でf_XY(x,y)に従うとき、

f_XY(x,y) = 1/9 (0≦x≦3,0≦y≦3) 0 (それ以外の(x,y)のとき)
ここでT＝X+Yによりあらたな確率変数Tを定義する。このときのTの確率密度f_T(t)を求めよ。

というところで、

独立より、∫0→3 f_X(x)dx = ∫0→3 f_Y(y)dy = 1を考慮に入れると、

f_X(x) = 1/3

となる。

ここまでは、全確率の関係と独立の関係から解釈はできたのですが、次の解説で

以上から積分区間は

(i) 0≦t≦3のとき

(ii) 3≦t≦6のとき
と場合分けができる。

(i)のときは0≦x≦tとなり、　(ii)のときはt-3≦x≦3になる

と書いてありましたがここの理解がまったくわかりません。

どうして積分区間が上記のことからi&iiの場合に分けられて、そしてそのときのxの区画までも表せるのでしょうか。

お恥ずかしいですがここの積分区間の理解ができていないので大変困っています。
ご指導お願い申し上げます。

回答No.1

ryoryoryory · ベストアンサー

ほかの方がもっと正確に回答してくださるでしょうけど、簡単に。

t=x+yと定義しています。そして、0≦x≦3 0≦y≦3です。
この式のグラフを書いてみてください。

つまり、y=-x+tのグラフです。範囲は0≦x,y≦3です。
そうすると、グラフの切片であるtの範囲はおのずと、0≦t≦6となります。
x,yの範囲は決まっていますので、グラフは、縦横3×３の正方形の左から右下がりのシマシマになります。

(i) 0≦t≦3
グラフをみてみてください。tとxは対応しています。つまり、0≦x≦tとなります。言葉で説明するのは難しいですが、グラフを見てかんがえてみてください。このときのグラフは、x,yが縦横となる直角三角形のシマシマとなります。
(ii) 3≦t≦6のとき
この範囲であれば、tは3を超えることはあっても、xが３をこえることはありません。
たとえば、tが4のとき、4=x+yで、(x,y)=(1,3),(3,1)が極端となります。tが5のとき、(x,y)=(2,3),(3,2)がそれとなります。
Xに、注目すると、xの最小値は、t-3となります。ややこしいことを言いましたが、まあ、グラフを書いてみればわかります。
つまり、t-3≦x≦3となります。
ちなみに、グラフは逆さにした直角三角形のシマシマになります。

とにかく、t=x+yのグラフを書いてみて一度考察してみてください。

お礼

早速のご指導まことにありがとうございます。

また、大変わかりやすく、tの関数が定義されていてそれでx,yの範囲が決まっていると相関してtの範囲も決まっているが重要なのがtをxが超えない場合、xの本来の値の許容範囲内、そしてそれ以外の場合に分けられるということなのですね。

ご指導のおかげでようやく解説の意味がわかりました。
あとはグラフを見てどういう状況になるのか再考してみようと存じます。

本当にありがとうございました。
今後ともよろしくお願い申し上げます。