2重積分の積分区間

質問

次の問題の積分区間の取り方がわかりません。

領域D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦x}のとき、
f(x,y)=x+2yの重積分
∬Df(x,y)dxdy
を求めよ。

yで積分してからxで積分するやり方だと、
前者の積分区間が0→x
後者の積分区間が0→1
となり、これはまあなんとなくわかるのですが、
xで積分してからyで積分するやり方だと、
前者の積分区間がy→1
後者の積分区間が0→1
となるようなのですが、どうしてこうなるのでしょうか。

この積分区間の取り方がよくわからないゆえ、
他の問題も全然解けません。
どなたか解説をお願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

「y で積分してから x で積分する」ときの「y で積分」するところでは x を固定して考える. 領域 D において, 「x をある値で固定したときの y の変域」はわかりますか? 「なんとなく」じゃダメですよ.
同様に「x で積分してから y で積分する」ときの「x で積分する」ところでは y を固定して考える. だから, 領域 D において「y をある値で固定したときの x の変域」を考えればいい. 今のような場合なら, 普通は横軸に x を, 縦軸に y をとって図示するので, 「y をある値で固定したときの x の変域」は「あるところで横軸をひいたときの D との共通部分」になる.

このくらい簡単な領域なら, 実際に絵にすればわかるはずなんだけどなぁ....

お礼

すみません…わざわざありがとうございます。

回答No.2

info22_

>これはまあなんとなくわかるのですが、
実際は良く分かっていないのでしょう。
基本に帰って、積分の領域を描いて細い棒状の長方形に分けて積分するやり方で考えれば
しっかりと理解できます。その細い長方形の長さ方向の範囲が長さ方向の積分範囲になります。
前者だと、領域をy軸方向の細い長方形に分割して長方形の長さ方向のyで1つの長方形の面積分積分後、すべての長方形の面積和を求めるx方向の積分をする訳です。

>xで積分してからyで積分するやり方だと、
>前者の積分区間がy→1
>後者の積分区間が0→1
>となるようなのですが、どうしてこうなるのでしょうか。

後者のxで積分してからyで積分するやり方だと、
領域をx軸方向の細い長方形に分割して長方形の長さ方向のxで1つの長方形の面積分積分後、すべての長方形の面積和を求めるy方向の積分をする訳です。

このように細い長方形をどちら方向にとって積分領域を分割するかで、積分の順序や範囲が決まります。先に１つの細長い長方形の長さ方向の変数で積分をしてから、総ての長方形の積算する細長い長方形の幅方向の変数で積分するといった積分手順になります。

お分かりになりましたでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
おっしゃることはなんとなくですがわかるのですが、
積分区間が質問文になる理由がよくわからないです…。

回答No.1

Tacosan

積分する領域を絵にするのが分かりやすいんじゃなかろうか.

お礼

回答ありがとうございます。
この問題集に図は書いてあったのですが、
よくわからなくて…。