たたみこみ積分の積分範囲について

質問

たたみこみ積分の積分範囲について
下付き添え字は「_（アンダーバー）」で表現しました。

問題：
２つの独立な連続型確率変数X, Yは次の確率密度f_xy(x,y)に従う。
f_xy(x,y)={1/9 (0≦x≦3, 0≦y≦3 ), 0(それ以外の（x,y）のとき)}
ここでT=X+Yにより新たな確率変数Tを定義したとき、Tの確率密度f_t(t)を求めよ。

xとyは独立故に、f_xy(x,y)=f_x(x)・f_y(y)と変形。
その後、f_t(t)=∫[-∞～∞] f_x(x)・f_y(t-x)dxに変形して確率密度を求めるというところまでは理解できたのですが、いざ積分するときに、範囲をどう求めればよいかわかりません。

浅学のため、分かりやすく教えていただけると幸いです。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

f_x(x) = 1/3 (0≦x≦3)
　　　 = 0 (x<0, 3<x)
f_y(y) = 1/3 (0≦y≦3)
　　　 = 0 (y<0, 3<y)
であることはわかりますよね？

y = t-xとしたのですから、
f_y(t-x) = 1/3 (0≦t-x≦3)
　　　　 = 0 (t-x<0, 3<t-x)
従って、
f_t(t) =∫[-∞～∞] f_x(x)・f_y(t-x)dx
=∫[0≦x≦3かつt-3≦x≦tを満たすx] f_x(x)・f_y(t-x)dx + ∫[0≦x≦3かつt-3≦x≦tを満たさないx] f_x(x)・f_y(t-x)dx
=∫[0≦x≦3かつt-3≦x≦tを満たすx] (1/3)・(1/3) dx + ∫[0≦x≦3かつt-3≦x≦tを満たさないx] 0 dx
=∫[0≦x≦3かつt-3≦x≦tを満たすx] (1/9) dx

この積分はtの値によって場合分けが必要になり、
t<0又は6<tのとき、0≦x≦3かつt-3≦x≦tを満たすxは存在しないので、
f_t(t) = 0
0≦t≦3のとき
t-3≦0≦x≦t
であるから
f_t(t) =∫[0≦x≦t] (1/9)dx = t/9
3<t≦6のとき
0<t-3≦x≦3
であるから
f_t(t) =∫[t-3≦x≦3] (1/9)dx = (6-t)/9
となります。

念のため、確認をしてみましょうか。
∫[-∞～∞] f_t(t)dt = ∫[-∞～0] f_t(t)dt + ∫[0～3] f_t(t)dt + ∫[3～6] f_t(t)dt + ∫[6～∞] f_t(t)dt
= ∫[-∞～0] 0 dt + ∫[0～3] (t/9) dt + ∫[3～6] ((6-t)/9)dt + ∫[6～∞] 0 dt
= [(t^2)/18][0～3] + [(12t-t^2)/18][3～6]
= 1/2 - 0 + 2 - 3/2
= 1
無事1になりました。

グラフを描いて、tの値を変えて確率密度が0出ないxの区間を求めても良いです。

お礼

遅くなりました。
理解できました、ありがとううございました。