湖の水面の高さの変動と微積分の概念の理解への応用

質問

ある湖に流れ込む水量と流出する水量の差として湖の水面の高さあるいは保持している水量を考えて微積分の概念の理解へ応用できないでしょうか。無限に小さいという概念が理解できない自分にとっての希望なのですが、無理でしょうか。ニュートンが流量というような言葉を使っていたという話を聞いたからでもあります。

回答No.2

ORUKA1951 · ベストアンサー

無限小はゼロではない。ライプニッツによるところの『無限小量は「0 ではない、かつ限りなく 0 に近い微小な量」』
　これを理解するには、「アキレスと亀」や「飛んでいる矢は止まっている」というゼノンのパラドックス( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9 )を理解することが早道でしょうね。
　いわゆるdxですが、断面が長方形で現される直方体の水槽の水深と水量の関係は時間の関数で表されますが、断面が放物線や半円であらわされる樋状の水深と水量の関係を考えるときは、この微積分の考え方を取り入れると容易に計算できますね。

　こういうときには、微分の発明当時（数学史）に立ち返るのが本当は良いのです。
　ニュートンが、物体にかかる重力と速度の関係を導き出したように・・

お礼

その当時の雰囲気を自分なりに想像して勉強してみるということですね。さっそく試してみます。

回答No.5

f272

> ニュートンが流量というような言葉を使っていたという話

ニュートンの使った意味での「流量」は、今では単に「未知数」「変数」と呼ばれています。その変化の速さを「流率」とニュートンは言いましたが、今は単に「(1階の)導関数」と呼びます。

お礼

ニュートンでも液体のようなものをイメージしていたのかな、と思いました。ご教示ありがとうございました。

回答No.4

noname#212313

#1です。

>無限小というような概念がどうしてもわからないための質問でした。

　なるほど、そういった点でしたか。無限小についてだけ少し言及しておきたいと思います。

　無限小とは「0ではないけれど、どんな小さな数よりも0に近い」というヘンテコなものです。そう説明されても、いったい何なのかは不明です。

　それを、速度というよく扱われる題材で少し考えてみたいと思います。先の回答ではΔtといったことを申し上げました。短い時間経過ということですね。Δtは1秒でも2秒でも、0.1秒でもいいんです。とにかく有限の時間です。

　ある物体が動き始め、1秒後には元の位置から1cm、2秒後にはそれが4cm、3秒後には9cmになったとします。平均速度は移動距離を到達所要時間で割ったものですから、1秒後：1cm÷1秒＝1cm/s（sは秒：secondの略記）、2秒後：4÷2＝2cm/s、3秒後：9÷3＝3cm/sだということになります。

　さらに、1秒ごとで区切って考えると、1秒後の1cm/sは変わりませんが、2秒後：(4-1)/1＝3cm/s、3秒後：(9-4)/1＝5cm/sとなります。平均速度とはだいぶ違います。何秒後には何cm/sと見積もるためにはどうすればいいでしょうか。

　移動距離をx、所要時間をtとすれば、x/tが速度ということですが、1秒ごとに変わってしまっています。任意の時刻tでの速度を求めるにはどうしたらいいか。

　この物体の運動に規則性があるとすると、どうやら秒数の2乗がセンチで表した移動距離になっているらしいと気が付きます。そうだとすると、x＝t^2（^2は2乗のことで、エクセルでも使える記法）ということです。

　ニュートンは、時間と位置の関係さえ分かれば、速度を出せる方法を考案しました。それが微分です。時刻tのとき、xという位置にいるとして、そこからΔt秒後にはΔxだけ位置が変わったとします。それで速度vを考えると、以下のように計算できます。

　v＝Δx/Δt
＝{(t＋Δt)^2-t^2}/Δt　←x＝t^2を使った
＝{t^2＋(2t)Δt＋Δt^2-t^2}/Δt　←2乗になっているカッコの部分を展開
＝{(2t)Δt＋Δt^2}/Δt　←t^2が消える
＝(2t)＋Δt　←分子の各項を分母で割った

　Δtを限りなく小さくすると、上記は2tになります。それが速度です。教科書や参考書に「y=x^2をxで微分すると、y'=2x」と書いてあったりしますが、こういう計算（「限りなく小さくする」）をしているのです。

　Δx/Δtの分子、分母それぞれが限りなく小さいとした場合、dx/dtと記します。もう微分したつもりということで、dx、dtとも「変化した分を限りなく小さくしたと考えてください」という意味で書いているわけです。

　幾何学的に考えると、x, tを軸とするグラフになります。x＝t^2ですから2次関数のグラフですね。ΔxとΔtで考えると、2次関数の2点間を結ぶ直線になります。(x, t)と(x＋Δx, t＋Δt)を結んだグラフということです。ΔxとΔtを限りなく小さくすると、(x, t)での接線になります（※なんとなくそうなりそう、と思えれば充分です）。

　ついでに、積分についても少しだけ考えてみます。v＝Δx/Δtより、vΔt＝Δxとできます。左辺は「速度×時間」ですから、確かに右辺の移動距離になります。0秒からt秒まで、Δt秒ごとにvΔtを計算した足し合わせれば、移動距離が出ます。

　ただし誤差が出るでしょう。誤差が出るのはΔtが有限の時間だから、その間にも速度が変わってしまうせいだからなのですが、やはり限りなく小さくと考えて、vdt＝dxとして、これの全部の足し合わせが計算できれば、時間tで移動する距離xが正確に求められるはずです。それを、

　∫vdt＝∫dx
∴∫2tdt＝∫dx　←さっきの、v＝2tを使った
∴t^2＝x　←詳細は省略して積分公式より

とするのが（定）積分です。無限に小さく分割しておいたものを、全部足し合わせているのです。

　以上、もしdxといったものが、なんとなく感じられればと思い、書いてみました。分かりにくければ、捨ててしまってください（私は説明下手なので、すみません）。

お礼

なかなか先へ進めませんが、ご説明を参考にさせていただきながらもう少し勉強を続けたいと思います。

回答No.3

masa2211

>ニュートンが流量というような言葉を使っていたという話
ニュートン流体のことでは？

ニュートン流体：空気、水、油。　　粘性は力に関係なく一定。
非ニュートン流体：以下に分類。
　塑性流体（バター）ある力に達すると、突然動き出す。
　擬塑性流体（マヨネーズ）力を加え「ない」と、必要以上に抵抗。
　ダイラタント流体（片栗粉を水で溶いたもの）力を加え「る」と、必要以上に抵抗。

ということで、
湖面水位と流入流出量の関係は、ニュートン流体とは関係ありません。　

湖面水位と流入流出量の関係ですが、湖というくらいだから対象は水とします。
（勿論、ニュートン流体が対象です。非ニュートン流体の場合、湖にバターが山盛になっても下流に全く流れない、というのがあるので、こういうのは除外せざるを得ない。）

人により書き方はいろいろですが、差分で書くと
ΔＨ＝ΔＶ／Ａ＝（（ＱiーＱo）×ΔＴ）／Ａ
　Ｈ：湖の水位（ｍ）
　Ｖ：湖の貯水量（ｍ3）
　Ａ：湖の面積（ｍ2）　　　　　　標高の関数。
　Ｑi：湖への流入量（ｍ3/ｓ）　　時刻の関数。
　Ｑo：湖からの流出量（ｍ3/ｓ）　湖の水位の関数。
　Ｔ：時間（秒）
単位は、辻褄が合っていれば何でもよい。（上記単位はＳＩ単位の場合。）
まあ、意味するところは単純。
ΔＴの間に溜まった（減った）量がΔＶで、その時の湖の面積でΔＶを割れば
水位変化となる。それだけ。
全変数が連続関数であることは確定（工学的にはちょい怪しい。）しているので、差分を微分に書き換えても問題ない。終わり。

お礼

差分というのもあるのですね。こういう概念も同じように難しいのですが、物理の方で言う量子と重なったりしてますますわからなります。しかし、もう少し勉強したいと思います。

回答No.1

noname#212313

お考えのものは「微分方程式」と呼ばれる数学分野になります。微積分学の応用分野です。湖を底に小さい穴の開いたバケツだとしてみます（水位が流出量に比例するようにするための単純化）。

　バケツに流れ込む1秒当たりの水量が一定だとしておきます。バケツの水面が高くなれば、流れ出す量は増えて、水位は下がるでしょう。逆に低ければ、流れ出す量が減って水位は上がるはずです。

　水位をxとし、1秒当たりの流入量は同じでaだとすると、Δt秒間（Δは微小な変化を表すときによく使う記号、この場合だと時刻tから時刻t＋Δtまでの間）にaΔtになります。

　一方、1秒当たりの流出量はバケツの底における圧力に比例しますから、水位xに比例します。その比例定数をkとしておきます。すると、Δt秒間なら、kxΔtです。

　水位の変化Δxを考えると、流入量から流出量を引いたものになりますから、

　Δx=aΔt-kxΔt

ということになります。それぞれのΔを極限まで小さくしたと考えるときには、上記の式を、

　dx=adt-kxdt　∴dx/dt=a-kx　（←「x'=a-kx」と書くことも多い）

とします。dx, dtは微積分でよく見る記号ですね。xをtで微分したものが、x（という変数tの関数）で表されるわけです。こういうものが微分方程式と呼ばれ、方程式の形によってさまざまな解法があります（単に積分するだけでいい単純なものから、非常に手数がかかるもの、さらには解けないのでコンピュータシミュレーションするしかないもの等々）。

　お考えのものは、こういうものであるわけです。微積分学の入門というより、微分や積分を使って問題を解く、つまり微積分学の応用に属することがお分かりいただけるかと思います。おそらくですが、もっと基本的なものから入った方が無難です。

お礼

ご丁寧にご教示いただきありがとうございます。無限小というような概念がどうしてもわからないための質問でした。基本ですね。もう少し勉強してみたいと思います。