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湖の水面の高さの変動と微積分の概念の理解への応用
noname#212313の回答
#1です。 >無限小というような概念がどうしてもわからないための質問でした。 なるほど、そういった点でしたか。無限小についてだけ少し言及しておきたいと思います。 無限小とは「0ではないけれど、どんな小さな数よりも0に近い」というヘンテコなものです。そう説明されても、いったい何なのかは不明です。 それを、速度というよく扱われる題材で少し考えてみたいと思います。先の回答ではΔtといったことを申し上げました。短い時間経過ということですね。Δtは1秒でも2秒でも、0.1秒でもいいんです。とにかく有限の時間です。 ある物体が動き始め、1秒後には元の位置から1cm、2秒後にはそれが4cm、3秒後には9cmになったとします。平均速度は移動距離を到達所要時間で割ったものですから、1秒後：1cm÷1秒＝1cm/s（sは秒：secondの略記）、2秒後：4÷2＝2cm/s、3秒後：9÷3＝3cm/sだということになります。 さらに、1秒ごとで区切って考えると、1秒後の1cm/sは変わりませんが、2秒後：(4-1)/1＝3cm/s、3秒後：(9-4)/1＝5cm/sとなります。平均速度とはだいぶ違います。何秒後には何cm/sと見積もるためにはどうすればいいでしょうか。 移動距離をx、所要時間をtとすれば、x/tが速度ということですが、1秒ごとに変わってしまっています。任意の時刻tでの速度を求めるにはどうしたらいいか。 この物体の運動に規則性があるとすると、どうやら秒数の2乗がセンチで表した移動距離になっているらしいと気が付きます。そうだとすると、x＝t^2（^2は2乗のことで、エクセルでも使える記法）ということです。 ニュートンは、時間と位置の関係さえ分かれば、速度を出せる方法を考案しました。それが微分です。時刻tのとき、xという位置にいるとして、そこからΔt秒後にはΔxだけ位置が変わったとします。それで速度vを考えると、以下のように計算できます。 v＝Δx/Δt ＝{(t＋Δt)^2-t^2}/Δt ←x＝t^2を使った ＝{t^2＋(2t)Δt＋Δt^2-t^2}/Δt ←2乗になっているカッコの部分を展開 ＝{(2t)Δt＋Δt^2}/Δt ←t^2が消える ＝(2t)＋Δt ←分子の各項を分母で割った Δtを限りなく小さくすると、上記は2tになります。それが速度です。教科書や参考書に「y=x^2をxで微分すると、y'=2x」と書いてあったりしますが、こういう計算（「限りなく小さくする」）をしているのです。 Δx/Δtの分子、分母それぞれが限りなく小さいとした場合、dx/dtと記します。もう微分したつもりということで、dx、dtとも「変化した分を限りなく小さくしたと考えてください」という意味で書いているわけです。 幾何学的に考えると、x, tを軸とするグラフになります。x＝t^2ですから2次関数のグラフですね。ΔxとΔtで考えると、2次関数の2点間を結ぶ直線になります。(x, t)と(x＋Δx, t＋Δt)を結んだグラフということです。ΔxとΔtを限りなく小さくすると、(x, t)での接線になります（※なんとなくそうなりそう、と思えれば充分です）。 ついでに、積分についても少しだけ考えてみます。v＝Δx/Δtより、vΔt＝Δxとできます。左辺は「速度×時間」ですから、確かに右辺の移動距離になります。0秒からt秒まで、Δt秒ごとにvΔtを計算した足し合わせれば、移動距離が出ます。 ただし誤差が出るでしょう。誤差が出るのはΔtが有限の時間だから、その間にも速度が変わってしまうせいだからなのですが、やはり限りなく小さくと考えて、vdt＝dxとして、これの全部の足し合わせが計算できれば、時間tで移動する距離xが正確に求められるはずです。それを、 ∫vdt＝∫dx ∴∫2tdt＝∫dx ←さっきの、v＝2tを使った ∴t^2＝x ←詳細は省略して積分公式より とするのが（定）積分です。無限に小さく分割しておいたものを、全部足し合わせているのです。 以上、もしdxといったものが、なんとなく感じられればと思い、書いてみました。分かりにくければ、捨ててしまってください（私は説明下手なので、すみません）。
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