【積分応用】

質問

1/2∫[下0:上x^2]sin(√(t)+π/4)dtのとき0≦x≦πの最大値と最小値を教えてください。増減表もお願い致します！

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

質問の内容から見て，高校３年生以上で数学Ⅲを履修中以上と判断してよろしいですね。

d/dx(∫<a→x>f(t)dt=f(x)
は定理としてご存じですね。また証明もできますね。この変形として
d/dx(∫<a→g(x)>f(t)dt=f(x)*g'(x)
も，理解できますね（「合成関数の微分」で証明もできますね）

まず
F(x)=(1/2)∫<0→x^2>sin((√t)+π/4)dt
と置きます。
F'(x)=(1/2)sin((√x^2)+π/4)*2x
=x*sin(|x|+π/4)　（0≦x≦πだから(x≧0なので)|x|=x）
=x*sin(x+π/4)
ここで0≦x≦πだから，π/4≦x+π/4≦(5/4)π
この範囲において
F'(x)=0となるのはx=0,sin(x+π/4)=0より，x=0,(3/4)π
F'(x)>0となるのは0<x<(3/4)πだから，0<x<(3/4)πで増加し(3/4)π<x<πで減少する。
これで，F(x)の増減の状態がわかりました。

x 0 (3/4)π π
F'(X) 0 + 0 -
F(x) 0 ↗ 極大 ↘

次に最大値と最小値を求めるために
F(0),F((3/4)π),F(π)の値を求めていきます。

F(0)=(1/2)∫<0→0>sin((√t)+π/4)dt=0　となることは明らかです。

次に，F((3/4)π)=(1/2)∫<0→((3/4)π)^2>sin((√t)+π/4)dtを計算します。
(√t)+π/4=uとおくと，(√t)=u-(π/4)，t=u^2-(π/2)u+(π/4)^2となるから
dt/du=2u-(π/2)
また，t:0→((3/4)π)^2のとき，u:π/4→πだから
F((3/4)π)=(1/2)∫<0→((3/4)π)^2>sin((√t)+π/4)dt
=(1/2)∫<π/4→π>sinu*(2u-(π/2))du
=∫<π/4→π>(u-(π/4))*sinudu　（ここから部分積分になります）
=[(u-(π/4))*(-cosu)]<π/4→π>-∫<π/4→π>(-cosu)du
=(3/4)π*(-(-1))-0+[sinu]<π/4→π>
=(3/4)π-(√2)/2　……（極大値です）

次に，F(π)=(1/2)∫<0→π^2>sin((√t)+π/4)dtを計算します。
t:0→π^2のとき，u:π/4→(5/4)πだから
F(π)=[(u-(π/4))*(-cosu)]<π/4→(5/4)π>-∫<π/4→(5/4)π>(-cosu)du
……（以下は計算のみなので省きます）

以上のようにして最大値と最小地が求まります。
方針は基本的な普通の問題でしたが，計算で一工夫が必要だったのですね。