パラメータ関数の増減表

質問

C:x=e^t-e^(-t),y=e^3t+e^(-3t)

このとき、xの関数yの増減と凹凸を調べ、曲線Ｃの概形を描け。

という問題なんですが、dx/dtやdy/dt,d^2y/dt^2などを調べていくと思います。これは問題文に調べよとありますから計算したこととしますが、グラフを描くときに増減表を書くと思います。ここでですが、この場合xやyの導関数は実際調べなくとも明らかに正ですよね？ですから増減表を書くときに

t｜０　…　∞
x｜０　→　∞
y｜２　↑　∞

というように書いてよいのでしょうか？（y軸対称ですからt≧０で考えています）ここでお聞きしたいのは増減表の中に導関数を取り入れていないことが許されるのかということです。そもそも増減表はx,yの動向をつかむためのものであるから、別に導関数をかかなくてもよいと思うのですが。これは予備校の先生に教わったので間違いではないと思うのですが、果たして採点官に認められるのかと思いまして。例えばx=sin3t,y=cos2t（0≦t≦π/2）というようなパラメータ関数があったとして「このグラフの概形を描け」とだけ問題にあったとしたら、dx/dtなど調べなくても実際にtx平面にx=sin3tのグラフを描けば、どこで増加・減少になるかは一目でわかります。

t｜０ … π/6 … π/3 … π/2
x｜０ ↑ １ ↓ ０ ↓ -1

（ちょっと上の増減表ずれてるかもしれませんが、…の下に矢印があると判断してください）という感じです。もし許されるのであれば、このように判断できるものは無駄に導関数など調べなくてもよいということになりますし、かなり手間が省けると思います。
以上のことについてアドバイスお願いいたします。

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

No.1の補足への回答です。
増減表に導関数の正負を示す欄はとくに必要ありません。
この判断は、問題文の指示と深い関係にあります。
だいたい、y=sin 3x の増減表を書けとか、y=x^2の増減表を書けといった、微分しなくても簡単にわかるような問題は出ないのです。パラメータ関数という形でわざわざ導関数を計算しないといけないようになっているから問題として成立しているわけです。
したがって、つぎのような判断になります。
（１）計算した導関数は、解答のどこかに式で書いておく必要がある。
（２）導関数の形が簡単で、一見して正負が明らかな場合は、増減表に、とくに導関数の正負を示さずに増減のみを示してよい。ただし、導関数の形が複雑（２次関数など）の場合は、別途どの区間が正でどの区間が負かを求める計算を別のところに記述する必要がある。

お礼

なるほど！よくわかりました！補足回答ありがとうございます！

回答No.1

shkwta

この問題は、問題文にあるとおり、「xの関数」yの増減と凹凸を調べよ、ということです。
パラメータで表示された関数の微分の公式
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
を使ってdy/dxを求め、さらに同じ公式と、商の微分公式を用いて２階導関数 d^2y/dx^2を求め、これらにより(tではなく）xとyの間で増減表、凹凸表を作ります。式が複雑になりますが、展開してまとめれば正負の判断はすぐにつきます。

あと、ついでに書くとdy/dtが常に正と思われているようですが、tが負ならdy/dtは負です。

補足

問題文を取り上げてしまったためにお聞きしたかったこととズレてしまいました。すみません。この問題文の指示はどうでもいいとして、単に「グラフの概形を描け」という時に増減表を書きますが、そのとき増減表の中に導関数(dx/dtなど)を書き入れないとダメでしょうか？ということでした。それは質問文の増減表を見ていただければお分かりになると思います。(x,yの動向のみでdx/dtなどを書いていない増減表のことです)よろしければ再びアドバイスお願いします。

あとご指摘の通り間違って書いてました。導関数ではなくy自体が常に正ということでした。