双曲線余弦を持つ関数の留数の求め方

質問

皆様よろしくお願いいたします。

F(s)=(1/s)*{ cosh( x*√(s/a) ) / cosh( k*√(s/a) )}

の留数を求めたいです。
この関数の極は、s=0に1位の極と

s=-(a/k^2)・(n+1/2)^2・π^2　
(n=0,1,2・・・）

に極があるようです。

1)この極はどのように導けば、求められるのでしょうか。
　おそらくcosh(z)=(exp(z)+exp(-z))/2=0より
　exp(2z)-1=0と変形しexp(2z)=exp(2x)・(cos y +i・sin y)から求めるのだと思いますが、
　ここから先、どうやっても計算できませんでした。

2)この関数の留数はどのように計算したら求められるのでしょうか。

ご存知の方、よろしくお願いいたします。

回答No.2

Tacosan

今ふと気付いたけど
「cosh(z)=(exp(z)+exp(-z))/2=0より
exp(2z)-1=0と変形し」
の部分, 間違ってるよね. 本当は
exp(2z)+1 = 0
じゃないといけない. で exp(2z) = -1 から 2z = i(2n+1)π だから k*√(s/a) = [i(2n+1)π]/2. ほら, ちゃんと出る.

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、exp(2z)=-1だったのですね。
自分も気付きませんでした。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

どちらも s=0 に対しては簡単なので無視.

1) exp(2z) = 1 から 2z が分かる.
2) 例えば, 指数関数で書いてしまえばなんとでもなるとは思う. 簡単かどうかは知らんけど.

お礼

ご回答ありがとうございます。
ご教示頂いた方法からは、算出できませんでしたが、

cosh(z)=cos(iz)を利用して、s=-(a/k^2)・(n+1/2)^2・π^2　を求めることができました。

cosh(k*√(s/a) )　=0　より
よってk*√(s/a)=i(n+1/2)π
√s=i・(√a/k)・(n+1/2)π
⇔
s= -(a/k^2)・(n+1/2)^2・π^2