留数定理の応用：微分方程式の主要解を求める方法とは？
- 留数定理を用いると、Fourier積分を利用して微分方程式の主要解を求めることができます。
- 具体的には、与えられた微分方程式に関する主要解を求めるために、留数定理を使って積分を計算します。
- 留数定理を適用する際には、積分路の取り方に注意しなければなりません。
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留数定理について質問です。
留数定理について質問です。 次のような問題が出題されました。 「Fourier積分を利用し微分方程式の主要解を求めよ。 (d^2/dx^2)G+κ^2G=-δ(x-ξ)」 解答の詳細は省略しますが G=(1/2π)∫dk{exp[ik(x-ξ)]}/(k^2-κ^2) の積分を[-∞,∞]で計算することに帰着します。(これまでのところで、δはδ関数、iは虚数単位です。) これをkの複素平面上で留数定理を用いて計算するという定石的なやり方なのですが、積分路の取り方としてx-ξ>0なら虚軸が正の半円+実軸上、x-ξ<0なら虚軸が負の半円+実軸上というループを採用します。極が実軸上にあるのでx-ξ>0の場合のループではk=κのみをループ内に含むように、x-ξ<0の場合はk=-κのみを含むように選ぶと Res(κ)=exp[iκ(x-ξ)]/(2κ)より x-ξ>0のときG=i{exp[iκ(x-ξ)]}/(2κ) とあります。ここまではいいのですがx-ξ<0の場合、 「同様に、G=i{exp[-iκ(x-ξ)]}/(2κ) (x-ξ<0)」 となっています。自分の計算ではG=-i{exp[-iκ(x-ξ)]}/(2κ)となるのですが、何故合わないのか分かりません。留数の公式に当てはめるとexpの肩と全体の符号が極の選び方で逆になるように思うのですが、解答では全体の符号が変化していないように思います。 x-ξ<0の場合の計算の詳細を教えていただけないでしょうか？
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