留数定理による実定積分の計算について

質問

留数定理による実定積分の計算について
現在複素積分について勉強中のものです。
∫^{+∞}_{-∞}f(x)exp{itx}dxという形の積分の計算なのですが
t>0については
∫^{+∞}_{-∞}f(x)exp{itx}dx=2πiΣ^{m}_{k=1}Res{f(z)exp{itz}}
となりf(z)が偶関数のとき
∫^{+∞}_{0}f(x)cos(tx)dx=πiΣ^{m}_{k=1}Res{f(z)exp{itz}}
となりf(z)が奇関数のとき
∫^{+∞}_{0}f(x)sin(tx)dx=πΣ^{m}_{k=1}Res{f(z)exp{itz}}
となりますが
t<0のときはどうなるのでしょうか。
マイナスになるだけでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

y = -x と置換すると
∫[x=-∞→+∞] f(x) exp{itx} dx = ∫[y=+∞→-∞] f(-y) exp{i(-t)y} (-dy)
= ∫[y=-∞→+∞] f(-y) exp{i(-t)y} dy
だから、

f が遇関数なら -t のときと変わらないだろうし、
f が奇関数なら 符号が反転するでしょう。

f が遇関数でも奇関数でもない場合は、
∫[x=-∞→+∞] f(x) exp{itx} dx が f について線型であることから、
f を遇部分と奇部分に分解して、
∫[x=-∞→+∞] f(x) exp{itx} dx = ∫[x=-∞→+∞] F(x) exp{itx} dx + ∫[x=-∞→+∞] G(x) exp{itx} dx
ただし F(x) = { f(x) + f(-x) }/2,　G(x) = { f(x) - f(-x) }/2
と計算するとよいでしょう。

それより、t>0 のときの式の右辺が説明不足です。
Σ^{m}_{k=1} の k やら m やらが何なのか、ちゃんと書いておかないと。

お礼

説明足らずで済みませんでした。
計算してみます。
ありがとうございました。