留数

質問

次の関数の極と留数を求めよという問題で、
関数：1/(z^n-1)
これは分母が０になる関数を求めるとといいのでexp(2 i m π/ n)
が極と解答には書いてありました
確かにこれを分母に代入すると、exp(2 i m π) - 1=cos2mπ+i sin2mπ - 1=1 - 1=0となる
と自分なりに解釈したんですがこれは正しいでしょうか
あと、留数なんですけど、Res[ 1/(z^n -1 ) , exp(2 i m π/ n)]=lim(z→exp(2 i m π/ n))
{z - exp(2 i m π/ n)}/z^n -1｝の計算を恐らくすると思うんですがこの計算をどうやってすればいいのか分かりません
どなたか分かる方、教えてください
特に普通留数を求めるときってz - a(a:極）と分母が約分できてあとはaを代入するってやり方がメジャーだと思うんですけどこの関数の場合、どう約分できるかが分からないのでその辺を教えてくれたらありがたいです

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

g(z) の特異点を求めるには、1/g(z)=0 を解けばいい。
そのような z は、どれも g(z) の特異点です。
特異点 z=a が見つかったら、各々の a について、
lim[z→a] g(z)・(z-a)k乗 が収束する最小の自然数 k を探します。
何かヒラメイてもいいし、特にアイデアがなければ
k=1,2,3,… と試してみることになります。
上手く k が見つかれば、z=a は g(z) の k 位の極なので、
留数はそのときの極限 Res[g(z),a]=lim[z→a] g(z)・(z-a)k乗 です。
k が見つからないときは、探しかたが足りないのかもしれないし、
そのような k は存在しないのかもしれません。
k が本当に存在しない場合は、その特異点は「真性特異点」といって、
留数を求めるのは、一般に容易ではありません。
質問の問題では、結果的に特異点が 1 位の極だけなので、
上記の手順に従えば簡単に処理できます。

回答No.5

alice_44

あ、だめじゃん。

＞ 上手く k が見つかれば、z=a は g(z) の k 位の極なので、
＞ 留数はそのときの極限 Res[g(z),a]=lim[z→a] g(z)・(z-a)k乗 です。

訂正↓

上手く k が見つかれば、z=a は g(z) の k 位の極なので、
留数は、No.3 さんが書いているように、Res[g(z),a] =
lim[z→a] {1/(k-1)!} (d/dz)^(k-1) {g(z)・(z-a)k乗}
です。

我ながら、寝ぼけていたとしか…

お礼

分かりました
前回も質問に答えていただきまして参考になりました
ありがとうございます

回答No.3

rnakamra

>留数なんですけど、Res[ 1/(z^n -1 ) , exp(2 i m π/ n)]=lim(z→exp(2 i m π/ n))
{z - exp(2 i m π/ n)}/z^n -1｝の計算を恐らくすると思うんですが

1位の極であればその計算方法でOKです。
もっと高位の極である場合はこの計算方法ではだめです。
m位の極については
Res[f(z),z=z0]=lim(z→z0)[(1/(m-1)!*{d^(m-1)/dz^(m-1)}{(z-z0)^m*f(z)}]
と計算することになります。

今回の問題の場合、それぞれの極はすべて1位の極となりますので質問者の計算方法でOK。

この場合、計算はかなり楽です。
lim(z→z0){(z-z0)/f(z)}
(求める関数ではなく、その逆数をf(z)とおきました)
の形であれば、よく見ると
lim(z→z0)[1/{f(z)/(z-z0)}]=1/lim(z→z0){f(z)/(z-z0)}
と変形できますが、この分母はf'(z0)を意味します。
(もう一段変形し、1/lim(z→z0)[{f(z)-f(z0)}/(z-z0)]とすればわかるでしょう。f(z0)=0であることを利用しています。分母はf'(z0)の定義式ですね。)

今回の例では
Res[1/(z^n-1),z=exp(2imπ/n)]=1/{(z^n)-1}'|z=exp(2imπ/n)=1/{n*z^(n-1)}|z=exp(2imπ/n)
となります。

お礼

ものすごく分かりやすい説明ありがとうございます
これ１週間分からずに悩んでいたのでスッキリしました

回答No.2

151A48

留数の計算。私は次のようにしていました。
α=exp(2imπ/n) とすると
z^n -1=(z-α)(z^n-1 +z^n-2 α+z^n-3 α^2 + ・・・・・・+zα^n-2 +α^n-1)
とできるので，
lim (z-α)(1/z^n -1)=lim 1/(z^n-1 +z^n-2 α+z^n-3 α^2 + ・・・・・・+zα^n-2 +α^n-1)
=1/nα^n-1 ( lim はx→α）
参考まで。

お礼

なるほど
そういうやり方もあるんですね
ありがとうございます

回答No.1

NemurinekoNya

>確かにこれを分母に代入すると、exp(2 i m π) - 1=cos2mπ+i sin2mπ - 1=1 - 1=0となる
と自分なりに解釈したんですがこれは正しいでしょうか

この場合、そう解釈していいと思います。

>留数の計算の仕方
この場合、
Res[z=a](1/(z^n-1))
=[1/{n*z^(n-1)}]z=a …（※）
=1/{n*a^(n-1)}
と計算するのが普通じゃないかな。(aはz^n-1の一次の零点でこの場合はa=exp(2 i m π/ n))

(※)
g(z)をαで1位の零点を持つ正則関数
h(z)をαで零点を持たない正則関数とすると
Res[z=α](h(z)/g(z)) = h(α)/g'(α)
g'はzの微分の意味です

この問題の場合
h(z)=1
g(z)=z^n-1

お礼

ありがとうございます
よく分かりました