複素数の留数について

質問

こんにちは、複素数でわからない問題があります。

exp(az)/1+exp(z)の特異点が一位の極z=πiのみの時、留数定理によって
その値は-2πi×exp(iπa)

となるそうなのですが、なぜマイナスがつくのか分かりません。単純にz=πiを分子に代入したらマイナスは出てこないですよね。

どうやら、複素平面におけるlog（z）にz=－１を代入するとlog(1)+iπになることと関係があるみたいなのですが、まずなんでlog(1)+iπになるのかが分からないので理解できません。

よろしくお願いします。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

>留数の計算なのですが、(1+exp(z)）の特異点が(z-πi）なので

>lim[z→πi](z-πi)exp(aｚ)/(1+exp(z))の式は相殺されて、結局
>lim[z→πi]exp(aｚ)を求めればいいから、そうなるとマイナスは出てこないじゃないか、と
>思っているのですが、この計算方法は間違っているのでしょうか。

極限値が同じだからといって相殺されるなどとんでもない。
f(z)→0(z→0),g(z)→0(z→0)なら、f(z)/g(z)→1(z→0)になりますか?
そうなるとはかぎりません。(むしろならないほうが圧倒的に多い)

素直に上の極限の計算をやってみればよい。
lim[z→πi](z-πi)exp(aｚ)/(1+exp(z))={lim[z→πi]exp(aｚ)}*{lim[z→πi](z-πi)/(1+exp(z))}
ですね。一つ目の極限値はexp(iaπ)、二つ目の極限はどうなるか。ロピタルの定理を使っても良いし、g(z)=1+exp(z)とするとこの式は1/g'(πi)の定義式と見て取ることも出来るのでそこから値を求めても良い。

お礼

なるほど。lim[z→πi](z-πi)/(1+exp(z))の部分は相殺されず、0/0の不定形になっているんですね。だから、極限を調べるにはロピタルの定理を使えばいいのですか。
たしかにそうすれば1/exp(πi)となってマイナスが出てきますね。詳しい説明ありがとうございました。

回答No.1

rnakamra

Res(exp(ia)/(1+exp(z)),z=πi)=lim[z→πi](z-πi)exp(ia)/(1+exp(z))
です。分子に単にz=πiを代入したものではありません。
この式を計算するとマイナスの符号が出てきます。

>log（z）にz=－１を代入するとlog(1)+iπになる
-1=exp(πi+2nπi)
として代入すると良いでしょう。exp(2nπi)=1であることをお忘れなく。
多分ここでのlog(1)とは単に"0"ではなく、2nπiのことを表しているのでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。

留数の計算なのですが、(1+exp(z)）の特異点が(z-πi）なので

lim[z→πi](z-πi)exp(aｚ)/(1+exp(z))の式は相殺されて、結局
lim[z→πi]exp(aｚ)を求めればいいから、そうなるとマイナスは出てこないじゃないか、と思っているのですが、この計算方法は間違っているのでしょうか。

お手数ですが、もしよろしければご説明していただけるとありがたいです。