確率です 連の問題!!(617)

質問

2種の文字A,Bの順列について考える　同一文字の1つづきを1つの連という　例えばAABABB
ではAA,B,A,BBの4個の連を持つ　A,Bを5個ずつ計10個を1列に並べるときの連の個数の期待値を求めよ

解説　A,B5個ずつ計10個の順列は[10]C[5]とおり考えられるが、そのうち連がk個であるものがa[k]通りあるとすると,たとえばa[5]については5連のうち3連がAで2連がBのものと,3連がBで2連がAのものとが考えられるが

5個を3分割する方法は○↓○↓○↓○↓○の4本の↓から2本を選ぶ方法に対応し(たとえば左から2,4番目の↓を選んだとすると○○↓○○↓○というように5個の○を3分割すると考える)

その個数は[4]C[2]で一般のk分割だと[4]C[k-1]通りであるから　a[5]=[4]C[2]・[4]C[1]+[4]C[1]・[4]C[2]=2[4]C[2]・[4]C[1]
このようにしてa[2]～a[10]を求めると　
a[2]=2[4]C[0]・[4]C[0]=2,a[3]=2[4]C[1]・[4]C[0]=8,

a[4]=2[4]C[1]・[4]C[1]=32,a[5]=2[4]C[2]・[4]C[1]=48,

a[6]=2[4]C[2]・[4]C[2]=72,a[7]=2[4]C[3]・[4]C[2]=48,

a[8]=2[4]C[3]・[4]C[3]=32,a[9]=2[4]C[4]・[4]C[3]=8,

a[10]=2[4]C[4]・[4]C[4]=2

したがって求める期待値は

1/[10]C[5]・(2・2+8・3+32・4+48・5+72・6+48・7+32・8+8・9+2・10)=1512/251=6

別解　a[2]=a[10],a[3]=a[9],a[4]=a[8],a[5]=a[7]が成り立つから、求める期待値は

1/[10]C[5]・{(2a[2]+10a[10])+(3a[3]+9a[9])+(4a[4]+8a[8])+

(5a[5]+7a[7])+6a[6]}=1/[10]C[5]・{(6a[2]+6a[10])+(6a[3]+6a[9])+

(6a[4]+6a[8])+(6a[5]+6a[7])+6a[6]}=1/[10]C[5]・Σ[k=2→10]6a[k]=6 (Σ[k=2→10]a[k]は順列の総数[10]C[5]に等しい)

研究　一般にn個ずつだと、連の個数の期待値は別解の解法によりn+1個になることがわかります　(nが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2となるわけである)

研究のnが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2となるとあるのですが、何故そう分かるのですか？1つの連の文字数の期待値は、単純に文字の総数2nを連の個数の期待値で割ればよいので、2n/(n+1)となります。と教わりましたが良く分かりません、何でそんな事が成り立つのか教えてください
自分なりに考えたのは
総文字数が2nあって2n=連の数×連に含まれる文字の数なんだけど明確に2nの文字の中に何個の連があって、一つの連の中に何個の文字があるかわからないから

研究のnが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2となるとあるのですが、何故そう分かるのですか？1つの連の文字数の期待値は、単純に文字の総数2nを連の個数の期待値で割ればよいので、2n/(n+1)となります。と教わりましたが良く分かりません、何でそんな事が成り立つのか教えてください
自分なりに考えたのは
総文字数が2nあって2n=連の数×連に含まれる文字の数なんだけど明確に2nの文字の中に何個の連があって、一つの連の中に何個の文字があるかわからないから

平均をとって2nの文字数は2nの文字の中に平均して含まれる連の個数とその平均して含まれる連の個数の中に含まれている平均の文字数を掛けたもので得られる
ので総文字数=総文字数に含まれる平均の連の数×総文字数に含まれる平均の連の数に含まれる平均の文字数

つまり2n=n+1×総文字数に含まれる平均の連の数に含まれる平均の文字数
よって総文字数に含まれる平均の連の数に含まれる平均の文字数=2n/n+1
よってlim[n→∞]2n/n+1=2となる

こういう事ですか？でもこれだと総文字数に含まれる平均の連の数に含まれる平均の文字数=1つの連の文字数の期待値となるのですが、総文字数に含まれる平均の連の数って一つかどうか分からないので同じになるとは言えないですよね？

回答No.1

kmee

> 2n=連の数×連に含まれる文字の数

間違い
一つ一つがバラバラの「連に含まれる文字の数」をどうやって掛けるおつもりで?

R: 連の数 とすると
総文字数=連1の文字数+連2の文字数+ ... + 連Rの文字数
ですよね?
ri:i番目の連の文字数 として式にすると
2n=Σ[i=1→R](ri)
ここで
m(R): 連数Rのときのriの平均 とすると
m(R)= (1/R)・Σ[i=1→R](ri)
であるから
2n = R ・ (1/R)・Σ[i=1→R](ri)
2n = R ・ m(R)
となり、よって
m(R) = 2n/R
「各連の文字数の平均は、総文字数 / 連数」
との結論が得られます。

このm(R)はnとRに依存します。
期待値の意味を考えれば、 m(R)の期待値は、R=連数の期待値 のときの値になりそうだ(少なくとも、大きく外れるようなことはない)、との予測は立てられます。

連数の期待値の計算方法は既に出ているのですから、連数の逆数の期待値の計算方法も同様に計算できます。
実際に計算してどうでしょうか?
式は一致しなくても、lim(n→無限)のときに2になる式が出てくるはずです

お礼

御返答有難うございます

補足

御返答有難うございます

>m(R): 連数Rのときのriの平均 とすると
じゃあm(R): 連数Rのときのriの平均=各連の文字数の平均という事ですよね？