6-16 高校数学の確率です

質問

袋の中に3個の白玉とn-3個の黒球が入っている これらn個の球を袋から1球ずつ取り出すとき、白球がX回目にはじめて取り出されるとしてXの期待値を、つぎのそれぞれの場合について求めよ
(1)取り出した球をその都度袋に戻す場合

解説 3/n=pとおくとk回目にはじめて白球が取り出される確率は(1-p)^(k-1)pであるから,E(X)=lim[m→∞]Σ[k=1→m]k(1-p)^(k-1)p 1-p=qとおきk(1-p)^(k-1)pについて
kq^(k-1)=(ak+b)q^k-(a(k-1)+b)q^(k-1)すなわちk=(ak+b=q-a(k-1)-bが成り立つようにa,bを定めるとa=1/(q-1)=-1/p,b=1/(q-1)^2=-1/p^2でこのとき、s[k]=(ak+b)q^kとおくと

Σ[k=1→m]k(1-p)^(k-1)p=pΣ[k=1→m](s[k]-s[k-1])=p(s[m]-s[0])
0<=q<1であるから,m→∞のときs[m]→0であり、したがって求める期待値は
lim[m→∞]p(s[m]-s[0])=-ps[0]=-pb=1/p=n/3

となっていたのですがs[k]=(ak+b)q^kとおく所が何故このように置いたのか分からないです
このように置くと後の計算が楽になるから置いたのだと思いますが、楽になるとどうやって予想したのかが分かりません

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

k×[n-k]C[2]が-(n-k+1)[n-k]C[2]+(n+1)[n-k]C[2]になるのは何故ですか？
＞頭も手も動かないのかね？中学生でも出来る計算だよ。

お礼

御返答有難うございます

補足

すいません、正確にはその計算をする事で後でどう計算が楽になるんですか？その式が成り立つのは分かります

回答No.2

yyssaa

対補足
(n-k+1)[n-k]C[2]が-3[n-k+1]C[3]になるのも何故なのか分かりません
ここの部分を是非宜しくお願いします

ではなくて
(n-k+1)[n-k]C[2]が3[n-k+1]C[3]になる・・・・・・じゃないのかね？
＞それなら
(n-k+1)[n-k]C[2]=(n-k+1)(n-k)!/{(n-k-2)!*2!}
=3*(n-k+1)(n-k)!/{(n-k-2)!*3!}=3*(n-k+1)!/{(n-k-2)!*3!}
=3[n-k+1]C[3]

お礼

御返答有難うございます

補足

有難うございます、非常に分かりやすかったです

k×[n-k]C[2]が-(n-k+1)[n-k]C[2]+(n+1)[n-k]C[2]になるのは何故ですか？どうやって左辺から右辺に変形したのかを教えて下さい、右辺から左辺へは分かりました

回答No.1

yyssaa

＞これなら分かるかな？
(X-1)回目まで黒球が続けて取り出される確率：{(n-3)/n}^(X-1)
X回目に白球が取り出される確率：3/n
白球がX回目にはじめて取り出される確率：X*(3/n)*{(n-3)/n}^(X-1)
その期待値E(X)=lim(X=→∞)∑(i=1→X)i*(3/n)*{(n-3)/n}^(i-1)
=(3/n)*lim(X=→∞)∑(i=1→X)i*{(n-3)/n}^(i-1)
(n-3)/n=rとおくと
∑(i=1→X)i*{(n-3)/n}^(i-1)=∑(i=1→X)i*r^(i-1)
=(1-r^X)/(1-r)^2-Xr^X/(1-r)
ここで(n-3)/n=r＜1だから
lim(X=→∞){(1-r^X)/(1-r)^2-Xr^X/(1-r)}=1/(1-r)^2
nに戻して
E(X)=(3/n)*1/{1-(n-3)/n}^2=n/3・・・答

お礼

御返答有難うございます

補足

その求め方で出すのは知ってます、今回知りたかったのはs[k]=(ak+b)q^kと置く所だったのですが、これは解決して今疑問なのは(2)の別解でk×[n-k]C[2]が-(n-k+1)[n-k]C[2]+(n+1)[n-k]C[2]になるのが分からないです

(n-k+1)[n-k]C[2]が-3[n-k+1]C[3]になるのも何故なのか分かりません
ここの部分を是非宜しくお願いします