高校数学の確率問題：A,Bチームの優勝確率を計算する
- トーナメント形式の16チームの野球大会で、AまたはBチームが優勝する確率を計算する。
- n=3の場合、AとBチームがともに3回戦に進出する確率は1/16であり、どちらか1つのチームが3回戦に進出する確率は6/16である。
- n=1,2,4の場合も、優勝する確率は1/8である。
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6-7 高校数学の確率の問題です 再質問です
A,B 2チームを含めた16の野球チームが,トーナメント形式で優勝を争うことになった、抽選の結果、もしもA,Bが勝ち進めば、この2チームが対戦するのは第n回戦でであることになったとして、AまたはBのチームが優勝する確率をn=1,2,3,4のそれぞれの場合について計算せよ ただし 16チームの力は同等とする 解説 n=3の場合:A,Bの2チームがともに3回戦に進出する確率は(1/2)^2・(1/2)^2=1/16 また1チームのみが3回戦に進出する確率は2・(1/2)^2{1-(1/2)^2}=6/16 よってn=3の場合の求める確率は1/16・1/2+6/16(1/2)^2=1/8 (n≠3の各場合も1/8となるが解答は省略) 解説を読んでn=3の時は分かったのですが、n=1,2,4の場合も教えてもらったのですが 考え方が合っているか不安なので確認の方をお願いしたいです (n=1の場合） AがBに勝ち、Aが優勝する確率は、（1/2）*（1/2）^3=1/16 この最初の1/2がAが1回戦でBに勝つ確率で(1/2)^3がAが2回戦から優勝するまで勝つ確率ですよね？ BがAに勝ち、Bが優勝する確率は、 （1/2）*（1/2）^3=1/16 これは最初の1/2がBが1回戦でAに勝つ確率で（1/2）^3が2回戦から優勝までBが勝つ確率ですよね？ （n=2の場合） A、B2チームが、それぞれ1回戦で勝つ確率は、1/2 AがBに勝ち、Aが優勝する確率は、 1/2*1/2*（1/2）^2=（1/2）^4=1/16 これは最初の1/2が1回戦でAが勝つ確率で次の1/2が2回戦でAがBに勝つ確率で（1/2）^2が3回戦から優勝までAが勝つ確率ですよね？ 同様に、BがAに勝ち、Bが優勝する確率は、 1/2*1/2*（1/2）^2=（1/2）^4=1/16 これは最初の1/2は1回戦でBが勝つ確率で次の1/2がBがAに勝つ確率で1/2）^2がBが3回戦から優勝するまで勝つ確率ですよね？ （n=4の場合） A、B2チームが、それぞれ3回戦までに勝つ確率は、（1/2）^3 AがBに勝ち、Aが優勝する確率は、 （1/2）^3*（1/2）=（1/2）^4=1/16 これは最初の（1/2）^3は3回戦までAが勝つ確率で次の1/2が決勝でAがBに勝つ確率ですよね？ 同様に、BがAに勝ち、Bが優勝する確率は、 （1/2）^3*（1/2）=（1/2）^4=1/16 これは最初の（1/2）^3が3回戦までBが勝つ確率で次の1/2が決勝でBがAに勝つ確率ですよね？ 確認の方を是非とも宜しくお願いします 後は16/2^4=1から、優勝が決まるまでに4試合勝たなければならないことが分かる と教えてもらったのですが16/2^4=1という式はどこから出てきて、この式を立てることで何故4試合勝つ必要があるとわかるのですか？
- arutemawepon
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ANo.5の回答者です。 チームの数が2^nであれば、どのチームも優勝するためにはn勝しなければならない、これがトーナメント形式というものです。 そして、チームの数が仮に（2^n）-1であれば、どこか1チームは優勝するためにn-1勝すればよく、チームの数が仮に（2^n）+1であれば、どこか2チームは優勝するためにn+1勝しなければなりません。 これが、最大限の公平・平等な考え方です。 極端な場合、チームの数が17あったとして、A以外の16チームで1チームを絞り込み、その1チームとAが対戦して優勝を決めることを考えると、Aは優勝するために1勝すればよく、他の16チームは優勝するまでに5勝しなければならない、このような事態を避けるのが上の最大限の公平・平等な考え方です。 これでもトーナメント形式が理解出来ないのであれば、この質問の趣旨からは外れてしまうので、この質問を締め切り、改めて「トーナメント形式について詳しく教えてください」と質問すべきでしょう。
その他の回答 (5)
ANo.2の回答者です。 解説にあるn=3の場合については分かったということは、あるチームが優勝するためには4回勝たなければならないというトーナメント形式が分かったということではなかったのでしょうか。 「何故4試合勝つ必要があると分かるのですか？」という追加質問がありますが、この質問の理由が理解出来ません。 前回の質問への回答では、第n回戦で必ずA、Bが対戦するものとして考えてしまいましたので、前提が誤っていました。（第n回戦でA、Bが対戦する確率を1としてしまいました。） ですから、ｎ=1の場合には差支えありませんが、n=2とn=4の場合の考え方は誤りですので無視してください。（ただし、結果は合っていますので、これについては後で触れます。） 自分は、ｎ=1の場合、今回の質問にあるように、Aが優勝する確率とBが優勝する確率を分けて考え、後から合計しましたが、解説のように考えれば、AとBが第1回戦で対戦した場合、どちらが勝ってもよく、そして勝ったチームがその後勝ち続けて優勝する確率を考えると、1*（1/2）^3=1/8になります。（最初の1は、どちらが勝ってもよいということです。） なお、ANo.3への補足の式は誤っていて、質問中にあるのが自分の考えた式です。 確認の？については、その通りです。 ここで、解説にあるn=3の場合の（紛らわしい表記は改めて）、 A、Bの2チームがともに第3回戦に進出する確率は（1/2）^2* （1/2）^2=1/16 また、1チームのみが第3回戦に進出する確率は2*（1/2）^2*{1-（1/2）^2}=6/16 よって、n=3の場合の求める確率は（1/16）*（1/2）+（6/16）*（1/2）^2=1/8 について考えてみると、 A、Bの2チームがともに第3回戦に進出する確率は、Aが第3回戦に進出する確率とBが第3回戦に進出する確率を掛けて求めています。 A、Bの2チームがともに第3回戦に進出すると、どちらか一方が勝って（この確率は1）、後1回勝てばどちらか一方が優勝することになります。 ですから、この場合の確率は（1/16）*1*（1/2）とした方が分かりやすいかもしれません。 また、1チームのみが第3回戦に進出する確率を求める式の中にある1-（1/2）^2は、第3回戦に進出することが出来なかったチームが、第1回戦または第2回戦で負ける確率です。 第1回戦で負ける確率は1/2、第2回戦で負ける（第1回戦で勝って第2回戦で負ける）確率は （1/2）^2=1/4 よって、第3回戦に進出することが出来なかったチームが、第1回戦または第2回戦で負ける確率は 1/2+1/4=3/4 これが、1-（1/2）^2=1-1/4=3/4に等しくなります。 そして、1チームのみが第3回戦に進出した場合には、後2回勝たなければ優勝出来ません。 さらに、n=3の場合の求める確率（1/16）*（1/2）+（6/16）*（1/2）^2の式を変形すると、 （1/16）*（1/2）+（6/16）*（1/2）^2 =2*（1/2）^6+2*（1/2）^2*{1-（1/2）^2}*（1/2）^2 =2*（1/2）^2*（1/2）^2*（1/2）^2+2*（1/2）^2*{1-（1/2）^2}*（1/2）^2 =2*（1/2）^2*1*（1/2）^2 この式で、最初の2は、A、Bの2チームがあることを示し、前の（1/2）^2は第3回戦に進むために2回（第1回戦と第2回戦を）勝たなければならないこと（勝つ確率）を示し、中の1は第3回戦の相手がどこかのチームである確率を示し、後の（1/2）^2は優勝するまでに後2回（第3回戦と第4回戦を）勝たなければならないこと（勝つ確率）を示しています。 つまり、この式は第3回戦の相手がどこであろうと無関係になるので、A、Bが対戦する確率を1と考えた場合と結果は同じになる訳です。 では、改めて、n=2とn=4の場合について考えてみます。 ・n=2の場合 簡単には、上の式と同様に2*（1/2）*1*（1/2）^3=1/8 解説通りに考えると、 A、Bの2チームがともに第2回戦に進出する確率は（1/2）*（1/2）=1/4 また、1チームのみが第2回戦に進出する確率は2* （1/2）*{1-（1/2）}=1/2 よって、求める確率は1/4*（1/2）^2+（1/2）*（1/2）^3=1/8 ・n=4の場合 簡単には、上の式と同様に2*（1/2）^3*1*（1/2）=1/8 解説通りに考えると、 A、Bの2チームがともに第4回戦（決勝戦）に進出する確率は （1/2）^3*（1/2）^3=1/64 そして、この場合にはどちらか一方が必ず優勝する また、1チームのみが第4回戦（決勝戦）に進出する確率は 2* （1/2）^3*{1-（1/2）^3}=7/32 よって、求める確率は（1/64）+（7/32）*（1/2）=1/8 以上から、この質問では、n=1～4の場合に分けても、さらにはn=2～4の場合に、それぞれAとBが対戦することとAとBが対戦しないことを考え合わせても、結果は既にANo.2で触れたように、途中経過にかかわらずAまたはBが優勝する確率は1/8なので、この質問の目的は、単に考え方を試すことだけなのでしょうか。
お礼
御返答有難うございます
補足
>あるチームが優勝するためには4回勝たなければならないというトーナメント形式が分かった>ということではなかったのでしょうか。 はい、n=3の時は数えていけば何回戦えばいいか分かりますが、これが数が多くなってきたら 2^4=16から分かるという考え方をしていかないといけないと思うのですが、この考え方が分からないです
本日は、都合により詳しく回答出来ませんが、追って詳しく回答しますので、この質問を締め切らずにお待ちください。
ANo.2の回答者です。 トーナメント形式がどのようなものなのかを頭の中だけで考えるのではなく、チームの数が16ですから、そのチームをA～Pとして実際にトーナメント表を作成すると、疑問が解消されると思います。
お礼
御返答有難うございます
補足
御願いです >A、B2チームが、それぞれ1回戦で勝つ確率は、1/2 >AがBに勝ち、Aが優勝する確率は、 >1/2*1/2*（1/2）^2=（1/2）^4=1/16 この計算の最初の1/2はAが1回戦で勝つ確率で次の1/2はBが1回戦で勝つ確率ですか？ >A、B2チームが、それぞれ3回戦までに勝つ確率は、（1/2）^3 >AがBに勝ち、Aが優勝する確率は、 >（1/2）^3*（1/2）=（1/2）^4=1/16 この最初の（1/2）^3はAが3回戦まで勝つ確率ですよね、次の1/2はAがBに勝つ確立だと 思うのですが、Bが3回戦まで勝つ確率の1/2）^3は掛けなくていいんですか？ この確認の方をよろしく御願いします、これで自分が聞いていることが合っているかどうかを知りたいのです
前回の回答者です。 数学以前に、トーナメント形式がどのようなものであるかを理解する必要があります。 16=2^4である、これはよろしいですか。 この場合には、試合が進むにつれて、チーム数が16－8－4－2－1（優勝）と絞り込まれていく（残りのチームの数が半減していく）ので、16/2^4=1から、優勝が決まるまでに4試合勝たなければならない（4段階を経なければならない）ことが分かるとしたのですが、この表現を改めると、16*（1/2）^4=1ということになります。 これが、もし15チームであれば、ある1チームは優勝するまでに3試合勝てばいいことになりますし、17チームであれば、ある2チーム（この場合に、1回戦でいずれかの1チームに決まる）は優勝するまでに5試合勝たなくてはならなくなります。 16チームのいずれかが優勝する確率は1なので、あるチームが優勝する確率は単純に1/16 また、これを（1/2）^4=1/16としても同様 さらに、あるチームが、 1回戦で負ける確率は、1/2=8/16 1回戦で勝って2回戦で負ける確率は、（1/2）^2=1/4=4/16 1回戦と2回戦で勝って3回戦で負ける確率は、（1/2）^3=1/8=2/16 1回戦と2回戦と3回戦で勝って4回戦（決勝戦）で負ける確率は、（1/2）^4=1/16 よって、あるチームが優勝する確率は、1-（8/16+4/16+2/16+1/16）=1-15/16=1/16 以上の3通りの考察から、Aが優勝する確率はBとの対戦があるかどうかにかかわらず1/16 また、Bが優勝する確率もAとの対戦があるかどうかにかかわらず1/16 AとBが共に優勝することは有り得ないので、途中経過にかかわらずAまたはBが優勝する確率は、1/16*2=1/8 なお、前回の回答に対する補足に、「Bが3回戦まで勝つ確率の（1/2）^3は掛けなくていいんですか？」とありましたが、確かに回答に曖昧な点がありました。 Aが4回戦（決勝戦）まで進んだ場合に、相手がBであるとは限らないのですが、相手がどこであってもいいので、相手が決まる確率は1ということです。 ですから、Aが4回戦（決勝戦）まで進んで（3回戦まで勝って）、優勝する確率を式に表わせば、 （1/2）^3*1*（1/2）=1/16 そして、Bについても同様に、 （1/2）^3*1*（1/2）=1/16 よって、この場合に、AまたはBが優勝する確率は、1/16*2=1/8
お礼
御返答有難うございます
補足
>16=2^4である、これはよろしいですか。 この式が成り立つという事は当然ですが分かります、がトーナメントを考える上でこの式をだして、これで4回戦までで言いと言う風になるというのなら分からないです >この表現を改めると、16*（1/2）^4=1ということになります。 この式はどういう事を意味しているのですか？まず16は全チームの数ですよね？1/2は各チームが勝つ確率ですか？右辺の1も何を意味しているのか分からないです、式自体の計算式が成り立つのは分かりますが、式を立てるときの意味が分かりません >A、B2チームが、それぞれ1回戦で勝つ確率は、1/2 >AがBに勝ち、Aが優勝する確率は、 >1/2*1/2*（1/2）^2=（1/2）^4=1/16 この計算の最初の1/2はAが1回戦で勝つ確率で次の1/2はBが1回戦で勝つ確率ですか？ >A、B2チームが、それぞれ3回戦までに勝つ確率は、（1/2）^3 >AがBに勝ち、Aが優勝する確率は、 >（1/2）^3*（1/2）=（1/2）^4=1/16 この最初の（1/2）^3はAが3回戦まで勝つ確率ですよね、次の1/2はAがBに勝つ確立だと 思うのですが、Bが3回戦まで勝つ確率の1/2）^3は掛けなくていいんですか？ この前回も書いた疑問点を是非宜しくお願いします
- kmee
- ベストアンサー率55% (1857/3366)
続きになるような場合は、前回の質問のURLを貼るようにしましょう。 http://okwave.jp/qa/q8803117.html > Bが3回戦まで勝つ確率の1/2）^3は掛けなくていいんですか？ あなたの指摘通り、そのn=1,2,4の計算は「n回戦でAとBが対戦する(かもしれない)」という視点での計算式にはなっていません。 (あるいは、式には表われていないが、計算はしていて、結果だけを使っている) 元の解説は AまたはBが優勝 = A,Bがn回戦で対戦し優勝 + A,Bのどちらかはn回戦まで進めず、もう一方が優勝 A,Bがn回戦で対戦し優勝 = (A,Bともにn-1回戦まで連勝) * (n回戦はA,Bどちらかが必ず残る) * (n+1回戦以降連勝) A,Bのどちらかはn回戦まで進めず、もう一方が優勝 = (Aだけがn-1連勝,Bは敗退 または Bだけがn-1連勝,Aは敗退) * (n回戦に勝利) * (n+1回戦以降連勝) (Aだけがn-1連勝,Bは敗退 または Bだけがn-1連勝,Aは敗退) = Aがn-1連勝 + Bがn-1連勝 - A,Bともにn-1連勝 というのを、忠実に式にしたものです。 n=1,2,4についても、同様に考えれば求めることができます ですが。 よくよく考えると、「AまたはBが優勝する」のは、「Aが連勝する」「Bが連勝する」のどちらかであり、AとBがどの時点で直接対決しようとも、また対戦が無くても、関係ありません。 「Aが優勝」と「Bが優勝」は同時に成立しないので、「AかBが優勝」の確率は 「Aが優勝」+「Bが優勝」=Aが4連勝 + Bが4連勝 となります。 ※ これが、 「Aは強い(勝率0.7)が、なぜかBには勝てない(勝率0)。他の対戦は実力拮抗(勝率0.5)」とか 「Bはスタミナ不足で、後半になるほど勝率が落ちる」とかがあれば、 「A,Bがn回戦で対決」に意味が出てくるのですが。 > 後は16/2^4=1から、優勝が決まるまでに4試合勝たなければならないことが分かると教えてもらったのですが > 16/2^4=1という式はどこから出てきて、この式を立てることで何故4試合勝つ必要があるとわかるのですか？ 別の式で計算した方が理解できるのなら、その式にこだわる必要はありません。 その式の両辺に2^4を掛けて 16=2^4 だったら理解できますか?
お礼
御返答有難うございます
補足
>16=2^4 >だったら理解できますか? いえ、この式の計算式自体が成り立つのは分かりますが、この式を立てようとなった意味と この計算式から4試合すればよいという結果が導かれる理由が分かりません 前に質問したときにも書いた疑問点 >A、B2チームが、それぞれ1回戦で勝つ確率は、1/2 >AがBに勝ち、Aが優勝する確率は、 >1/2*1/2*（1/2）^2=（1/2）^4=1/16 この計算の最初の1/2はAが1回戦で勝つ確率で次の1/2はBが1回戦で勝つ確率ですか？ >A、B2チームが、それぞれ3回戦までに勝つ確率は、（1/2）^3 >AがBに勝ち、Aが優勝する確率は、 >（1/2）^3*（1/2）=（1/2）^4=1/16 この最初の（1/2）^3はAが3回戦まで勝つ確率ですよね、次の1/2はAがBに勝つ確立だと 思うのですが、Bが3回戦まで勝つ確率の1/2）^3は掛けなくていいんですか？ を是非とも教えてください
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御返答有難うございます
補足
>チームの数が2^nであれば、どのチームも優勝するためにはn勝しなければならない、これが>トーナメント形式というものです。 >そして、チームの数が仮に（2^n）-1であれば、どこか1チームは優勝するためにn-1勝すれ>ばよく、チームの数が仮に（2^n）+1であれば、どこか2チームは優勝するためにn+1勝し>なければなりません。 これをもっと意味で教えて下さい、どの試合も勝つ確率は1/2で16チーム有ると8個の対戦するブロックに分かれる1回戦が終わると8個のブロックは半分の4個のになり2回戦が終わると更に半分の2ブロックになる3回戦が終わると更に半分の1ブロックになる4回戦になると半分の0ブロックとなって優勝者が決まる半分→半分と減っていくので最初の8は2^3なので3→0までには3試合行い、そこから優勝者が決まるまでに1試合するので全部で4試合という感じですか？ >（1/16）*（1/2）+（6/16）*（1/2）^2の式を変形すると、 >（1/16）*（1/2）+（6/16）*（1/2）^2 >=2*（1/2）^6+2*（1/2）^2*{1-（1/2）^2}*（1/2）^2 >=2*（1/2）^2*（1/2）^2*（1/2）^2+2*（1/2）^2*{1-（1/2）^2}*（1/2）^2 >=2*（1/2）^2*1*（1/2）^2 変形したら2*（1/2）^6+2*（1/2）^2*{1-（1/2）^2}*（1/2）^2とありますが、別に変形しなくてもいいですよね？変形した後の御説明は良く分からなかったのと解説は（1/16）*（1/2）+（6/16）*（1/2）^2で計算しているので、このままでいいですよね？後の説明は非常に分かりやすかったです