算数の問題の考え方 3年生に説明したい

質問

小学3年生に次の問題の解き方（考え方）と解答を教えてあげたいのですが、自分ではできません。
どうぞ、よろしくお願いします。問　毎日10円ずつ、貯金をします。10円硬貨が５まいたまると、50円硬貨１まいと交換します。また、50円硬貨が２まいたまると、100円硬貨１まいと交換します。さらに、１００円硬貨が５まいたまると、５００円硬貨１まいと交換します。
問１　枚数の合計が、はじめて５まいになるのは、何日たったときですか？問２　枚数の合計が３回目に５まいになるのは、何日たったときですか？問１はわかるのですが、問２がよくわかりません。数えて出すものなのか、計算式をつかって解答できるものなのか？
問３　貯金をはじめてから１年（３６５日）までの間で、枚数の合計がいちばん多くなるのは、何日たったときですか？また、そのときの枚数の合計は何枚ですか？この問題の考え方、こどもにどう説明してあげればわかりやすいでしょうか？アドバイス、よろしくお願いします。

回答No.5

noname#215361

ANo.4の訂正です。

問3
1年（365日）では、合計3650円たまるので、その内訳は
3650=500*7+100+50
から、500円硬貨が7枚と100円硬貨が1枚と50円硬貨が1枚になる
よって、500円硬貨が6枚と100円硬貨が4枚と50円硬貨が1枚と10円硬貨が4枚のときに、枚数の合計が一番多くなって、その金額の合計は
500*6+100*4+50*1+10*4=3490円
であるから、349日たったとき
また、そのときの枚数の合計は
6+4+1+4=15枚

回答No.4

noname#215361

問2
10円が硬貨5枚たまると50円硬貨1枚と交換するので、1回目に硬貨の枚数の合計が5枚になるのは、10円硬貨が4枚と50円硬貨1枚になる9日たったとき
10日目には100円硬貨1枚と交換するので、2回目に硬貨の枚数の合計が5枚になるのは、10円硬貨が4枚と100円硬貨が1枚になる14日たったとき
15日目には50円硬貨1枚と交換するので、3回目に硬貨の枚数の合計が5枚になるのは、10円硬貨が3枚と50円硬貨が1枚と100円硬貨が1枚になる18日たったとき

問3
1年（365日）では、合計3650円たまるので、その内訳は
3650=500*7+100+50
から、500円硬貨が7枚と100円硬貨が1枚と50円硬貨が1枚になる
よって、500円硬貨が6枚と100円硬貨が4枚と50円硬貨が4枚と10円硬貨が4枚のときに、枚数の合計が一番多くなって、その金額の合計は
500*6+100*4+50*4+10*4=3640円
であるから、364日たったとき
また、そのときの枚数の合計は
6+4+4+4=18枚

回答No.3

ORUKA1951

算数の問題、3年生にわかるように教えてください - 数学 - 教えて！goo( http://okwave.jp/qa/q8763681.html )
で一度質問されていますね。そこで、補足もお礼もなしに締め切られています。
★算盤とまったく同じ・・・

　それが理解できていれば、この問題も同じなのですが・・

※その時に説明したように、両替や算盤と同じですね。

　難しいのは問２でしょうか。
しっかり読み取って、問題を書き換えると、
1) 毎日10円ずつ増える。⇒ [日数×10]と金額は同じ
2) その日の金額を、可能な限り大きい金額の硬貨、500円玉、100円玉、50円玉と両替する。

※小学生でしたら、地道に書いていって法則性を見つけさせるしかないです。
考え方は、
・一日ごとに増えること
・50円があるので5日ごとに枚数が(4→1= 3枚)減ること
・100円があるので10日ごとに枚数(2→1= 1枚)が減ること
・500円があるので50日ごとに枚数が(4→1= 3枚)減ること

　と言う事を言っています。
　　日数　　金額　500　100　 50　 10　　　合計　 ↑　↑　↑
　　1日目　 10円　0枚　0枚　0枚　1枚　　合計 1枚 │　│　│
　　2日目　 20円　0枚　0枚　0枚　2枚　　合計 2枚 ５　│　│
　　3日目　 30円　0枚　0枚　0枚　3枚　　合計 3枚 │　│　│
　　4日目　 40円　0枚　0枚　0枚　4枚　　合計 4枚 ↓　│　│-3
　　5日目　 50円　0枚　0枚　1枚　0枚　　合計 1枚 ↑　10　│
　　6日目　 60円　0枚　0枚　1枚　1枚　　合計 2枚 │　│　│
　　7日目　 70円　0枚　0枚　1枚　2枚　　合計 3枚 ５　│　│
　　8日目　 80円　0枚　0枚　1枚　3枚　　合計 4枚 │　│　│
★　9日目　 90円　0枚　0枚　1枚　4枚　　合計 5枚 ↓　↓　│-3-1
　 10日目　100円　0枚　1枚　0枚　0枚　　合計 1枚 ↑　↑　│
　 11日目　110円　0枚　1枚　0枚　1枚　　合計 2枚 │　│　│
　 12日目　120円　0枚　1枚　0枚　2枚　　合計 3枚 ５　│　│
　 13日目　130円　0枚　1枚　0枚　3枚　　合計 4枚 │　│　│
　 14日目　140円　0枚　1枚　0枚　4枚　　合計 5枚 ↓　│　│-3
　 15日目　150円　0枚　1枚　1枚　0枚　　合計 2枚 ↑　10　│
　 16日目　160円　0枚　1枚　1枚　1枚　　合計 3枚 │　│　│
　 17日目　170円　0枚　1枚　1枚　2枚　　合計 4枚 ５　│　│
★ 18日目　180円　0枚　1枚　1枚　3枚　　合計 5枚 │　│　│
　 19日目　190円　0枚　1枚　1枚　4枚　　合計 6枚 ↓　↓　│-3-1
　 20日目　200円　0枚　2枚　0枚　0枚　　合計 2枚 ↑　↑　│
　 21日目　210円　0枚　2枚　0枚　1枚　　合計 3枚 │　│　│
　 22日目　220円　0枚　2枚　0枚　2枚　　合計 4枚 ５　│　│
　 23日目　230円　0枚　2枚　0枚　3枚　　合計 5枚 │　│　│
　 24日目　240円　0枚　2枚　0枚　4枚　　合計 6枚 ↓　│　│
　 25日目　250円　0枚　2枚　1枚　0枚　　合計 3枚 ↑　│　│-3

　198日目 1980円　3枚　4枚　1枚　3枚　　合計11枚 ５　│　│
　199日目 1990円　3枚　4枚　1枚　4枚　　合計12枚 ↓　↓　↓-3-1-3
　200日目 2000円　4枚　0枚　0枚　0枚　　合計 4枚 ↑　↑　↑
　201日目 2010円　4枚　0枚　0枚　1枚　　合計 5枚 │　│　│
　202日目 2020円　4枚　0枚　0枚　2枚　　合計 6枚 │　│　│

　347日目 3470円　6枚　4枚　1枚　2枚　　合計13枚 │　│　│-3
　348日目 3480円　6枚　4枚　1枚　3枚　　合計14枚 │　│　│
★349日目 3490円　6枚　4枚　1枚　4枚　　合計15枚 ↓　↓　↓-1-3-1-3
　350日目 3500円　7枚　0枚　0枚　0枚　　合計 7枚 ↑　↑　↑

　359日目 3590円　7枚　0枚　1枚　4枚　　合計12枚 ↓　│　│-3
　360日目 3600円　7枚　1枚　0枚　0枚　　合計 8枚 ↑　│　│
　361日目 3610円　7枚　1枚　0枚　1枚　　合計 9枚 │　│　│
　362日目 3620円　7枚　1枚　0枚　2枚　　合計10枚 ５　│　│
　363日目 3630円　7枚　1枚　0枚　3枚　　合計12枚 │　│　│
　364日目 3640円　7枚　1枚　0枚　4枚　　合計13枚 ↓　↓　│-3-1
★365日目 3650円　7枚　1枚　1枚　0枚　　合計 9枚 ↑　↑　│
　　日数　　金額　500　100　 50　 10　　　合計　 │　│　│

回答No.2

chie65535

小３なので「商と余り」は習っている筈なので、商と余りを用いて考えさせると良いでしょう。

１日１０円の貯金なので、ｎ日目の貯金の額は、１０ｎです。

５００円玉の枚数は、貯金の額を５００で割った商になります。

１００円玉の枚数は、上記の余り（５００で割った余り）を１００で割った商になります。

５０円玉の枚数は、上記の余りを５０で割った商になります。

１０円玉の枚数は、上記の余りになります。

例えば、６７日目、６７０円の時は、以下のようになります。

５００円の枚数＝６７０を５００で割った商＝１枚

１００円の枚数＝１７０（６７０を５００で割った余り）を１００で割った商＝１枚

５０円の枚数＝７０（１７０を１００で割った余り）を５０で割った商＝１枚

１０円の枚数＝７０（１７０を１００で割った余り）を５０で割った余り＝２枚

合計枚数＝１＋１＋１＋２枚＝５枚

上記を踏まえて、問題を考えます。

＞問１　枚数の合計が、はじめて５まいになるのは、何日たったときですか？

毎日、一番小さい額の硬貨が１枚づつ増えるので、一番小さい額の硬貨の枚数から考えます。

・「１０円×５枚」と仮定してみる。

これは「１０円５枚で５０円と交換」なので、除外します。

・「１０円×４枚＋何か１枚」と仮定してみる。

この場合の「何か」は「１０円の次に小さい硬貨」になります。

なので「１０円×４枚＋５０円×１枚」が、最初に５枚になる時の、硬貨の内訳です。

この金額は９０円ですから「９日目」が答えになります。

＞問２　枚数の合計が３回目に５まいになるのは、何日たったときですか？

１回目は、問１の答えより「１０円×４枚＋５０円×１枚になる９日目」と判っています。

２回目は、１回目の状態から「１番金額が小さい硬貨１枚が、次に大きい金額の硬貨に入れ替わった状態」の筈です。

１回目の状態が「１０円×４枚＋５０円×１枚」なのですから、その中の１０円１枚を５０円に変えた「１０円×３枚＋５０円×２枚」が「予想した状態」です。

しかし、これでは「５０円が２枚ある」ので駄目です。

なので、この「５０円２枚」を「１００円１枚」にして「１０円×３枚＋１００円×１枚＋何か１枚」を考えます。

この場合の「何か１枚」で最初に来るのは「１０円」なので、結局、２回目は「１０円×３枚＋１００円×１枚＋１０円×１枚」、つまり「１０円×４枚＋１００円×１枚」が、２回目に５枚になる状態です。

３回目は、２回目の状態から「１番金額が小さい硬貨１枚が、次に大きい金額の硬貨に入れ替わった状態」です。

これは、１回目から２回目を考えた時と同じです。

２回目の状態が「１０円×４枚＋１００円×１枚」なのですから、その中の１０円１枚を５０円に変えた「１０円×３枚＋５０円×１枚＋１００円×１枚」が、３回目に５枚になる状態です。

この合計金額は「１８０円」ですから、答えは「１８日目」になります。

＞問３　貯金をはじめてから１年（３６５日）までの間で、枚数の合計がいちばん多くなるのは、何日たったときですか？また、そのときの枚数の合計は何枚ですか？

５０日目に貯金が５００円になった時は「５００円１枚に減ってしまう」ので、その１日前が「５０日間で最も枚数が多い日」です。

それは「４９日目の４９０円」です。内訳は「１０円×４枚＋５０円×１枚＋１００円×４枚」です。

なので「今まで貯金したうち、硬貨の枚数が一番多くなる状態」は「１０円×４枚＋５０円×１枚＋１００円×４枚」と「１０円×４枚＋５０円×１枚＋１００円×４枚＋５００円が何枚かある時」です。

上記の状態から、５００円の枚数を「無い」、「１枚」、「２枚」と増やしていった状態が「それまでで枚数が一番多い状態」です。

５００円が無い＝「１０円×４枚＋５０円×１枚＋１００円×４枚」の４９日目の４９０円。

５００円が１枚＝「１０円×４枚＋５０円×１枚＋１００円×４枚＋５００円×１枚」の９９日目の９９０円。

５００円が２枚＝「１０円×４枚＋５０円×１枚＋１００円×４枚＋５００円×２枚」の１４９日目の１４９０円。

５００円が３枚＝「１０円×４枚＋５０円×１枚＋１００円×４枚＋５００円×３枚」の１９９日目の１９９０円。

５００円が４枚＝「１０円×４枚＋５０円×１枚＋１００円×４枚＋５００円×４枚」の２４９日目の２４９０円。

５００円が５枚＝「１０円×４枚＋５０円×１枚＋１００円×４枚＋５００円×５枚」の２９９日目の２９９０円。

５００円が６枚＝「１０円×４枚＋５０円×１枚＋１００円×４枚＋５００円×６枚」の３４９日目の３４９０円。

この次は、５００円が７枚になった状態ですが、その状態になるのは「１年過ぎたあと」ですから、１年間で最も枚数が多くなるのは

５００円が６枚＝「１０円×４枚＋５０円×１枚＋１００円×４枚＋５００円×６枚」の３４９日目の３４９０円

の時です。

答えは「３４９日目、枚数の合計は１５枚」になります。

回答No.1

f272

問２
普通は数えるんじゃないのかなあ？

500円硬貨の枚数-1００円硬貨の枚数-50円硬貨の枚数-10円硬貨の枚数
と言うように書くとすれば
50円硬貨の枚数は0枚か１枚しかなくて，10円硬貨と1００円硬貨は0枚，1枚，2枚，3枚，4枚のどれかだと，まずわかって否ければなりません。
そして，合計で５枚になるのは
0-0-1-4
0-1-0-4
0-1-1-3
と考えていく。

問3
365日なら3650円までだと，まず考える。
次に1００円硬貨の枚数，50円硬貨の枚数，10円硬貨の枚数は最大が決まっているので
*-4-1-4
のようになっているはずと考える。
そうすれば500円硬貨の枚数をなるべく増やすようにして
6-4-1-4
ということが自動的に出てくる。
あとは500円硬貨の枚数が７枚だと，どうしても6-4-1-4よりは枚数が少なくなることを確認する。