なぜ導線のまわりに渦状の磁場ができるのですか。

質問

なぜ導線のまわりに渦状の磁場ができるのですか。

電磁気学の問題で、半径aの円柱内を電流が流れているとき、その周りの磁場を求めると、

円柱外部(r>a) H=I/2πr、
円柱内部(r<a) H=Ir/2πa^2

となり、ここまではイメージ通りですが、このrotを計算すると、

外部rotH=0
内部rotH=I/πa^2

となります。
自分で調べ、アンペールの法則の微分形はその一点での状態を表すもので、
外部のrotH=0⇒その場所での電流密度は外部なのでゼロになるのは納得できるのですが、
rotHがゼロということは、渦なしの場ということになりますよね。
教科書とかでよく出てくる、直線電流のまわりにループ状の磁界ができるイメージと異なります。

rotH=0なのに、なぜ直線電流のまわりにはループ状の磁界ができるのですか?

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

無限に長い円柱導体を仮定する。

rotH=0を積分すると
∮rotH・dl=C(C：定数)
∫rotrotH・dS=∫(graddivH-ΔH)・dS=C

divH=0であるから、
-∫(ΔH)・dS=C
H⊥dSであればC=0になる。(dl⊥dS)

ビオサバールの法則より、
dH=I(ds×x)/4πx^3　(dsは電流の方向の素片)
積分すると
H=∫(I/4πx^3)du　(du=ds×x)
さらに積分して、
∮H・dl=∮(I/4πx^3)du・dl

アンペールの法則を満たすには
∫(1/4πx^3)du・dl=1
である必要がある。

du・dl=ds×x・dlは、細長い四面体の体積となる。
dlをrdθとおいておこう。
また、|ds×x|=rds、s=√(x^2-r^2) → ds=xdx/√(x^2-r^2)とおく。
すると値は、
∫(1/4πx^3)r^2dsdθ
=∫dxdθ[(1/4π)(r/x)^2 /√(x^2-r^2)]
ds⊥dθと仮定すれば、
=∫dx[(1/2)(r/x)^2 /√(x^2-r^2)]
偶関数であるから、(※xはrより小さくならないことを考慮して)
=∫_(r～∞) dx[(r/x)^2 /√(x^2-r^2)]
=[√(1-(r/x)^2)](r～∞)
=１
従って、dl⊥dsとなる。これは電流ベクトルとdlは垂直であることを示している。
また、dl⊥dSであるためds//dS ⇒ H⊥dSとなるからds//dSを示せれば良い。
積分路は平面D内の閉ループを取るため、素片dlはその面内のあらゆる方向を取り得るため、dlに垂直なベクトルはDに垂直なベクトルとなる。
従ってds//dSである。これによりrotH⊥dlが示された。
つまり、電流と垂直な面内にHは分布していることになり電流方向の磁界の不均一性はないため、面内に同心円状の等磁界線を描くことになる。
(アンペールの法則よりH=I/2πrとなるので等磁界線は導体の中心軸から等距離の磁界は等しい)

久々に頭使いました(汗)

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

渦とループは見ためも大きさも異なるものですが

例えば水が真っ直ぐに流れる場合でも
流れる速度にばらつきがあるとrotは
あちこちで0でなくなります。

水がループ上に流れる場合でも
外円ほど遅くなるように流れれば
渦はなくなります。

つまりルーフ°状であることと渦が
あることに直結しないのです。

いろいろなべクトル場のrotを計算してみることを
おすすめします。

回答No.2

noname#195146

まず、rotって何かということですね。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2_%28%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90%29
>与えられたベクトル場が、動いている流体の流速を表すものであるとき、その回転とはその流体の循環密度のことになる。

　なるべく分かりやすくしようとしても、こんな感じにはなってしまうのですが。

>rotH=0なのに、なぜ直線電流のまわりにはループ状の磁界ができるのですか?

　これはH、さらにB＝μHで、μはスカラーの定数ですからBで考えていいのですが、ループ状の磁界が存在することと、そのrotの値についての定義の質問者様の解釈が、多少違っているようです。

　上記に合わせて言えば、ループ状の磁界があり、磁束密度がゼロでなくても、その循環の密度はゼロであることがある、ということになります。多少乱暴な喩えになりますが、ある直線を微分して０だとしても、原点を通らない直線が存在し得る（xy平面のy＝aでa≠0でもよい）、といった感じでしょうか。

　このことを以下のページでは、

http://keio-ocw.sfc.keio.ac.jp/j/Sc_and_Tech/06A-001_j/Physics_reference/div-rot%28revised%29.pdf
>電線の周囲ではrotB＝0であるが，B＝0ではない（電流は流れていないが，磁束はある）．

としています（補足するカッコの位置がおかしいようなので、修正して引用）。

回答No.1

noname#249717

>> rotH=0なのに、なぜ直線電流のまわりにはループ状の磁界ができるのですか?

考え方が逆じゃないでしょうか。
Hベクトルが真円形の閉ループだからrotH=0なのではないでしょうか。
ループ上の各ベクトルの基点を原点に集めてくれば、ベクトルの総和（積分）はゼロだと思うのですが。

補足

回答ありがとうございます。

>Hベクトルが真円形の閉ループだからrotH=0なのではないでしょうか。

閉ループであることは、rotがゼロになることと関係あるのでしょうか?

また外部はそうだとしても、内部の磁界についてはrotH=電流密度となり、
渦のある磁界ができているといえます。
内部と外部でのこの差が分かりません...