数学 数列

質問

すみません、数学の問題の解き方がわからないので、教えてください

２５９２、６＾ｎの正の約数の総和をそれぞれ求めよ。

回答No.5

shuu_01 · ベストアンサー

No.4 さん、コメントありがとう

＞　「それぞれ」とあるんだから, 公約数ということはあり得ない

そっか、１文に２つの問題を入れちゃってるのですね

【１】 2592 の約数の総和

2592 ＝ 2^5・3^4 です

その約数のうち

２ の倍数は、１、２、４、８、１６、３２

３ の倍数は、１、３、９、２７、８１

です

すべての約数を列記すると、、、すべては勘弁

１×１、２×１、４×１、８×１、１６×１、３２×１
１×３、２×３、４×３、８×３、１６×３、３２×３
１×９、２×９、４×９、、、、、、、

、、、、

１×８１、２×８１、、、、、、、、、、、、３２×８１

となります。その和は

（1＋2＋4＋8＋16＋32）×（1＋3＋9＋27＋81）
＝｛2^（5+1）－１｝・｛3^（4+1）－１｝
＝ 63・242 ＝ 15246

【２】 6^n の約数の総和

２ の倍数では、１、２、、２^n
その各々に ３の倍数 １、３、、3^n を賭けただけ、約数があります

1＋２＋、、＋2^n ＝ 2（n+1）－１
1＋３＋、、＋3^n ＝ 3（n+1）－１

ですので、「公約数の和」は
｛2（n+1）－１｝・｛3（n+1）－１｝

お礼

わかりにくい書き方をしてしまいすみません。
回答ありがとうござました。

回答No.4

Tacosan

「それぞれ」とあるんだから, 公約数ということはあり得ない＞#3.

回答No.3

shuu_01

＞　２５９２、６＾ｎの正の約数の総和をそれぞれ求めよ。

は「公約数」ですよね

n ≦ 4 の場合と、n ≧ 5 の場合に分けて考えます

【１】 n ≦ 4 の場合

２ の倍数では、１、２、、２^n
その各々に ３の倍数 １、３、、3^n を賭けただけ！！
「公約数」があります

1＋２＋、、＋2^n ＝ 2（n+1）－１
1＋３＋、、＋3^n ＝ 3（n+1）－１

ですので、「公約数の和」は
｛2（n+1）－１｝・｛3（n+1）－１｝

【２】 n ≧ 5 の場合

2592 ＝ 2^5・3^4 の約数の和となるので、その和は
｛2（5+1）－１｝・｛3（4+1）－１｝
＝ 63・242 ＝ 15246

＊　ちょっと自信ありません。間違ってたらごめんなさい

回答No.2

shuu_01

2592 ＝ 2^5・3^4

6^n ＝ 2^n・3^n って所までは良いの？

補足

自分で約数を出しては見たんですが、
法則性が見つけられなくて。
約数の数的に、そのまま足すのではなく、
何か数列の公式を使うのだろうと思ったのですが、
それがわからなかったです。

回答No.1

Tacosan

その文章の通りですが, どこがわからないんでしょうか?