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自然数から複素数までの拡張について
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- 中村 拓男(@tknakamuri)
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負の数は負債とか貸し借りとかの概念から始まり、 9世紀ごろまでには世界に広まっていたらしいです。 でも数学者は17世紀まで負の数を頑固に認めなかったそうですね。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
歴史的には、 自然数 → 正の有理数 → 正の実数 → 負の実数を含む複素数 の順番だったと思う。 その辺の経緯は、↓とかに書いてある。 「負の数学」 http://www.amazon.co.jp/%E8%B2%A0%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E2%80%95%E3%83%9E%E3%82%A4%E3%83%8A%E3%82%B9%E3%81%8B%E3%81%91%E3%82%8B%E3%83%9E%E3%82%A4%E3%83%8A%E3%82%B9%E3%81%AF%E3%83%9E%E3%82%A4%E3%83%8A%E3%82%B9%E3%81%AB%E3%81%AA%E3%82%8C%E3%82%8B%E3%81%8B-%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BBA-%E3%83%9E%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%8D%E3%82%B9/dp/4791763130 足し算や引き算をするぶんには、正数と負数は対称だが、 (-1)×(-1)=(+1) という非対称性はナカナカ受け入れられず、 i×i=(-1) となる i が考えられて初めて、(-1) が、単なる 計算上の便宜ではなく、普通の数と考えられるようになった。 正の有理数 → 正の実数 がピタゴラスの時代の話で、 正の実数 → 負の実数および複素数 がカルダノよりも後の時代 であることを思うと、負数の受容には、随分と時間がかかった ことになる。西洋ではね。 現代日本では、なぜだか 自然数 → 整数 → 有理数 → 実数 → 複素数 という順番が信じられていて、もっぱら 実数 → 複素数 の所で 「虚数は実在するのか?」という話題になる訳だが、 算数の教程を振り返ってみると、実は、歴史どおりに 自然数 → 正の分数 → 正の小数 → 負数を含む有理数と実数 の順番で教わっているのだった。そうだよね? 日本人が正負の実数に特に抵抗感がないのは、寺子屋以来の 読み書き算盤教育を通じて、四則計算に親しい文化が育っている からだと、勝手に思っている。四則計算は、有理数の世界だから。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
ちょっと思い出した. 実数の範囲で方程式を考えると, 2次方程式では「複素数」なんて無視してもかまわない. でも, 3次方程式ではどうしても考えなきゃならない事情が存在する. つまり, 「係数は実数だし解も全て実数なんだけど, 途中で『複素数』を考えないと解くことができない」という状況が発生する. このあたりが, 「複素数」というものを (計算の道具として) 使うようになった理由. とはいえ, この時点では「便宜上の道具」であって, 「複素数」が数学的な対象になるのはもっとあとの話. って, なんか前にも書いたような気がする....
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
複素数は 3次方程式を解くときに「便利」だから, だったかな.
自然数は既知とします。自然数に0を含めるかどうかは、ちょっと議論がありますが、ここでは含めます。 自然数の中では、常に足し算と掛け算ができた。しかし引き算と割り算は常に実行可能でなかった。 常に引き算が実行可能なように、負数を導入し、整数を作った。 整数の中では、常に足し算と掛け算と引き算ができたが、割り算は常に実行可能でなかった。 常に割り算も実行可能なように、分数を考え、有理数を作った。 有理数まで来た時、実数の存在はけっこう暗黙に認められていました。そのような状況下で、複素数は開発されます。 実数の正式な定式化は、複素数よりちょっと遅いです。 そして実数の開発は、自然数→整数→有理数→複素数の拡張の流れとは、かなり毛色が違います。自然数→整数→有理数→複素数は、代数的な拡張です。 n次方程式が常に解を持つことが可能なように、複素数を作った。もちろんきっかけは、2次方程式だった。 √2が有理数でない事は、じつはピタゴラスの時代から知られていました。有理数全体と√2などの無理数全体も含む実数が年代的には最後に、正式定義されます。「暗黙に存在すると思えるし、思うだけで」、けっこう十分だったので・・・(^^;)。 任意の有理コーシー列が収束するように、実数を構成した。これは解析的拡張です。 そしていったん実数を定義してしまえば、それまで厳密には有理数a,bを用いてa+b・iと表していた複素数を(iは虚数単位)、実数のa,bを用いてa+b・iと表す事には、何の不都合もなかった。 こんなところでしょうか?。(^^;)
- funoe
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自然数→整数 自然数の世界で足し算、掛け算は自由にできたが、引き算で困った。たまに答えが出ない。3-5とか。 いつでも引き算ができるように拡張。 具体的には、自然数の順序対(m,n)に (m1,n1)+(m2,n2)=(m1+m2,n1+n2) (m1,n1)*(m2,n2)=(m1m2+n1n2,m1n2+m2n1) で定義すると、加法の逆元がいつでも存在するようになった。 整数→有理数 整数の世界で足し算、掛け算、引き算は自由にできたが、割り算で困った。たまに答えが出ない。2/3とか。 いつでも割り算が出来るように拡張。 具体的には、整数の順序対(i,j)に (i1,j1)+(i2,j2)=(i1j2+i2j1,j1,j2) (i1,j1)*(i2,j2)=(i1i2,j1j2) で定義すると、乗法の逆元が零元(0,j)を除きがいつでも存在するようになった。 有理数→実数 有理数の数列のうち、有界で単調増加な数列で、極限が存在しないものがあった。 An=(1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+・・・・・+1/n!) とか。 いつでも極限が存在するように拡張。 具体的には、有理数の集合を上半分(?)と下半分(?)に分割する「切断」なるものを設定し、その「切断」について加法と乗法を定義する。 書くのは超面倒なので、「有理数の切断」でググってください。
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