コブダグラス生産関数について

質問

コブダグラス型生産関数において，
π＝A×K^α×L^β
要素需要関数の指数部分に，1/(1-α+β)
という項がでてしまうと思うのですが，例えば：
（http://dept.econ.yorku.ca/~sam/2350q/cd.pdf）
規模に関して収穫不変（α+β=1）のとき，
要素需要関数や生産関数は，定義できない，
ということになるのでしょうか？
（費用最小化からだと，定義できるのでしょうか．．．）

素人質問で申し訳ありませんが，
どうぞよろしくお願いいたします．

回答No.2

statecollege · ベストアンサー

規模に関する収穫一定（すなわち、β = 1-α）の場合、

まず、費用最小化問題

min C = ｒK + wL

s.t.

Y = AK^αL＾（１－α）

を解いて、この企業の費用関数が以下のようになることを確かめなさい！

C = γY

ただし、γ≡A^(-1)[α＾α・(1-α）＾(1-α)]^(-1)×ｒ＾α・ｗ＾（1-α）は単位費用で一定であることに注意。したがって、この企業の利潤は

Π=pY - C = (p　- γ）Y　

となる。費用関数Cを与えられた競争企業は市場価格ｐを所与としてΠを最大化するYを選択しようとする。3つのケースがある。
i)　ｐ＜γの場合。この場合は最適生産量はY = 0である。なぜなら、市場価格が単位費用にくらべて低すぎて、生産を拡大すればするほど、赤字（損失）が大きくなるから、Y=0とするのが最適だ。すなわち、財の生産ががゼロなので、生産要素KとLにたいする需要もゼロ。
ii）p＞γの場合。単位利潤p-γは正だから、生産を拡大すればするほど、利潤は大きい。最適生産量は存在しない（最適生産量は無限大といってもよい）。したがって、それを生産するのに使われる要素KとLに対する需要の最適生産量は存在しない（無限大）。
iii）　ｐ＝γの場合。このとき、生産量がいくらであっても利潤Πはゼロ。したがって、最適生産量は不定。生産要素に対する需要量も不定である。

以上の議論はコブ・ダグラス生産関数の場合だけでなく、規模に関して一定であるすべての生産関数について成り立ちます。

回答No.1

noname#185024

k=K/L
とすると

生産量はkとLの関数として
f(k,L)=Ak^αL
と表せる

価格p、資本財価格r、賃金wとすると
利潤は
pf(k,L)-rkL-wL
=(pAk^α-rk-w)L

よって

(A,α,p,r,w)のある範囲（rとwが相対的に十分大きい範囲）では
L=0だけが最適となり
したがってKも0だけが最適となる
この場合要素需要量はどちらもゼロ

また別の範囲（rとwが相対的に十分小さい範囲）では
kを適当に選んでLの係数(pAk^α-rk-w)を正にすることができる
そのようなkについて
K=kLとしつつ
Lを増やすことで利潤をいくらでも増やせる
この場合要素需要量は定まらない

お礼

分かりやすいご説明をありがとうございました。