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線積分の経路依存性　ベクトル解析学

(0,0)を始点とし(1,2)を終点とするような３通りの経路C1,C2,C3を考える。 ただし、C3は放物線 y=x^2に沿った経路とする。 次のベクトル場に対し、3通りの線積分 ∫_Ci V・dr (i=1,2,3)を求めよ。（V , r はベクトルです。） （１）　V=(x,y) （２） V=(-y,x) もし、この問題を解説できる方がいらっしゃいましたら ご協力よろしくお願いいたしますm(__)m

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  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.2

問題ミスでは？ >ただし、C3は放物線 y=x^2に沿った経路とする。 の放物線は「y=2x^2」では？ そうだとして C1=C11+C12,C11:(0,t)(t=0→2),C12:(t,2)(t=0→1) C2:(t,2t)(t=0→1) C3:(t,2t^2)(t=0→1) とすると (1) ∫_C1 V・dr=∫_C11 ydy+∫_C12 xdx=∫[0→2] tdt+∫[0→1] tdt =[(t^2)/2][0→2]+[(t^2)/2][0→1]=2+(1/2)=5/2 ∫_C2 V・dr=∫_C2 (xdx+ydy)=∫[0→1] (tdt+2t*2dt) =∫[0→1] 5tdt=[(5/2)t^2][0→1]=5/2 ∫_C3 V・dr=∫_C3 (xdx+ydy)=∫[0→1] (tdt+2(t^2)4tdt) =∫[0→1] (t+8t^3)dt=[(1/2)t^2+2t^4][0→1]=(1/2)+2=5/2 　経路依存性はなしです。 (2) ∫_C1 V・dr=∫_C11 0dy+∫_C12 (-y)dx=0+∫[0→1] (-2)dt =[-2t][0→1]=-2 ∫_C2 V・dr=∫_C2 ((-y)dx+xdy)=∫[0→1] ((-2t)dt+t*2dt) =∫[0→1] 0dt=0 ∫_C3 V・dr=∫_C3 ((-y)dx+xdy)=∫[0→1] (-2(t^2)dt+t(4t)dt) =∫[0→1] 2(t^2)dt=[(2/3)t^3][0→1]=2/3 この場合は経路依存性ありです。

Trafalgar_law
質問者

お礼

細かく書いて頂きありがとうございましたm(__)m

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その他の回答 (1)

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.1

(1,2) が、その放物線上にないこととか、 C1, C2 には何の説明もないこととか、 いったいどこからツッコめばいいやら…

Trafalgar_law
質問者

お礼

あぁ、そうだったんですね(￣▽￣;)

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