- ベストアンサー
線積分
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
#1は思い切り間違えているではないか!!。 何をやっているんだ、オレは。 C1:x = t, y = 0 (t=0~1) C2:x = 1, y = t (t = 0~1) ではないか!! C1に関しては dx/dt = 1 dy/dt = 0 ∴ ds = {√((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)}・dt = dt C2に関しては、 dx/dt = 0 dy/dt = 1 ∴ ds = {√((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)}・dt = dt ですから、 ∫[C]fds = ∫[C1]fds + ∫{C2]fds = ∫[0,1](t・0)dt + ∫[0,1](1・t)dt = ∫[0,1]tdt = 1/2 ですね。 ちなみに、 ∫[C1]fds = ∫[C1]xyds = ∫[0,1](t・0)dt となるのは、 C1ではx = t, y = 0なので、f(t,0) = t・0 (= 0)だから。 ここで、f(x,y) = xyね。 C2ではx = 1, y = tなのでf(1,t) = 1・t (= t)ね。 #1はなかったことにしてください(ポリポリ)。
その他の回答 (1)
- NemurinekoNya
- ベストアンサー率50% (540/1073)
これは、問題が間違っているな。 この線積分は∫[C]fdsのはずだ!! [0,0]→[1,0]をC1、[1,0]→[1,1]をC2とする。 すると、 C1:x = t, y = 0 (t=0~1) C2:x = t, y = 1-t (t=1~0) t=a~bというのは、t=aからt=bに変化させるくらいの意味で、 わたしが勝手に作った記号です。 dsは線素とか呼ばれるもので、 ds = {√((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)}・dt です。 ∫[C]fds = ∫[C1]fds + ∫[C2]fds ∫[C1]fds = ∫[0,1]t・0ds = 0 なので、 ∫[C2]fdsだけ、計算をすればいい。 このとき、 dx/dt = 1 dx/dt = -1 なので、 ds = {√(1^2 + (-1)^2)}・dt = √2・dt ですから、 ∫[C2]fds = ∫[1,0]t・(1-t)・√2・dt = √2・(∫[1,0]tdt - ∫[1,0]t^2dt) =√2・(-1/2 - (-1/3)) = -√2/6 よって、 ∫[C]fds = -√2/6 とかなるんじゃないか。 自慢じゃないですが、わたしは計算をよく間違えるので、 ∫[C2]fdsの定積分は自分でちゃんとやってください。わたしの計算を信じてはいけない。 ちなみに∫[1,0]は、積分の始端が1、終端が0なので、そこのところヨロシク。
関連するQ&A
- ベクトル解析、線積分
添付画像の曲線Ci上の線積分(ただし、c3,c6はy=x^2です)を求める。 ∫(Ci)V・drを求めよ。 V=(x、y)、drはともにベクトルとします。 (疑問1) (1)∫(C1)V・dr=∫(0→1)xdx+∫(0→1)ydy=1* (2)~(3)ともに*という式になる (4)∫(C4)V・dr=∫(0→2)xdx+∫(0→4)ydy=10☆ (5)~(6)ともに☆という式になる。 ∫(C)V・drはベクトル場Vに対し、微小な変位を表すベクトルdr=(dx、dy)の内積を経路C上に渡って計算する。V=(u,v)に対し、V・dr=udx+VdYになるから、それぞれxとyの定義域にわたって足しあわせる。と考えて立てた式なのですが、正しいでしょうか? (疑問2) (例)y=2x(0≦x≦1)をCとする、 ∫(C)(x+y、xy)dr=∫(0→1)3xdx+∫(0→2)Y^2/2dyのように、 上の(2)などで、 ∫(C2)(xdx+ydy)=∫(0→1)xdx+∫(0→1)xdy=1/2+x/2とした(後半部分にy=xを代入した)ら間違えでした。 どうしてこの式は間違えなのでしょうか? (例と同じように考えているはずなのですが)
- 締切済み
- 数学・算数
- 線積分における完全微分性および積分路に対する独立性について
cを経路とすると、 ∫c {F1(x,y)dx+F2(x,y)dy} について、∂F1/∂y=∂F2/∂x が成り立つとき、F1(x,y)dx+F2(x,y)dyは完全微分であると言い、 ∫c {F1(x,y)dx+F2(x,y)dy}は、経路に関係なく始点と終点 だけで決まるというようなことを習いました。 ここで、 ∫c {F1(x)dx+F2(y)dy} は、∂F1/∂y=∂F2/∂xが成り立つので始点と終点を指定して 積分すれば良いということになるのですが、 ∫c {F1(x)dx+F2(y)dy}は、始点と終点を指定して 積分すれば良いということを「直接」偏微分で考えずに、 もっと初等的に、(線)積分の意味などから 考える方法はありませんか? 自分で考えてみたところ、「∫c F1(x)dx では、 F1はxの関数なので、xの値にのみ依存し、例え経路c上の 座標(x,y)が(5,9)であろうと(5,3)であろうとxの値は5になるので、 ∫c F1(x)dxは経路に依存せず、始点と終点を定めて計算すれば 良い」という説明になるのかな?と思いました。 たぶんこれは、∂F1/∂y=∂F2/∂xが成り立つことを間接的に説明 しているように思えるのですが… この説明はこの説明で良いのでしょうか? 他の説明の仕方があれば教えてください。お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線積分についての質問です
B(r)={-φy/2,φx/2,0}{√(x^2+y^2)≦a},B(r)=(-φa^2/2・y/y^2+x^2,φa^2/2・x/y^2+x^2,0){(√(x^2+y^2)>a}、(φ,aは定数)であり、xy面上で原点Oを中心とする半径bの円をCとしたとき、線積分∫c B(r)・dsの値を求めよ この問題が分かりません…
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線積分
以下の線積分なのですが、どのように積分すればいいのか分かりません。 どなたか、解答もしくは方針だけでも教えてください。 F=-(GmM)/(|r|^3)・r Fとrはベクトル が与えられている。 (1) ∫[C_1]F・dr (2)∫[C_2]F・dr ただし、各積分領域は C_1については、 点(x_0,y_0,z_0)から点(x_1,y_1,z_1)への線積分で x=x_0+(x_1-x_0)t y=y_0+(y_1-y_0)t z=z_0+(z_1-z_0)t (0<=t<=1) である。 C_2については、円筒座標系で x=pcosφ y=psinφ z=h (0<=φ<=Φ) です。 わかりづらくてすみません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
∫[0,1](t・0)dt + ∫[0,1](1・t)dt =3/2ではないですか?