＞火にかけていて内容が全て蒸発したのに・・・
この「内容」っていうのは、何かを入れていて蒸発したんでしょうか？　油、水、スープなど何でしょう？？？

いまだに内面が黒いor茶色いってことで、回答します。
素材がステンレスですので、鍋いっぱいに水を沸騰させてください。
沸騰後に酢（大２）、塩（小１）を入れて、火を小さくして５分～１０分グツグツとしてください。
（塩を入れる際にブワッと吹きますから気を付けてください）
もし、油が洗っても落ちていなようなら（油のヌルヌルが落ちない）、キッチン用洗剤を１～２滴、その中に加えてください。
グツグツした後に、鍋が熱いまま普通に洗ってください。
（この際、鍋が熱いですから火傷に気をつけて、ゴム手袋などしたほうがいいです。ステンレス素材はとっても熱くなりますから）
洗う際、最初に金属たわしorスポンジの片面が粗い、ザラザラになっている面などを使用するといいですよ。
この金属たわしorザラザラスポンジで全面（内側）をこすってから普通に洗えばベストですね。（ただし、ゴシゴシしないでください。傷を付けてしまいます）
おそらく、それで黒いor茶色いものは落ちると思います。

ステンレスは金属では固い方ですから（軟らかい代表はアルミ）、酢を使用しても溶解（？）などの心配は、日常での使用の場合、まず気にしなくていいです。
ただし、鍋の中に酢を入れっぱなしに長時間放置するのは止めてください。

気になっているのは、空焚きをした際に、「慌てて鍋が熱いまま水に漬けたりしなかったか？」　です。
鍋が熱いまま水に漬けるようなことをした場合、鍋が変形することが多いです（目に見えない変形も含めて＆ステンレス多層鍋のみではなく、どんな鍋でも急に冷ますと変形します）。　変形したら多層鍋の利点である熱の伝わりにムラが出てきます。　今回このようなことをしていないことを祈ります＾＾；
これから先に同じようなことがあった場合、必ず自然に熱を冷ませてください。

＞一度空焚きした位で使用不能状態になっていたのでは・・・
本来は空焚きを想定して作っていませんよね？
まぁ、その物を実際見ていないのでなんとも言えませんが、急に水などで冷ましていなかったら大丈夫だと思います。これから使用しておかしいと明らかに思うようでしたら多層鍋としての機能が変になっているかもしれません。
でも、通常使用するときに最初は鍋を熱くするよう（火にかけて）に作られてますから大丈夫だとは思うんですが・・・。（すいません）

ステンレス多層鍋は先にも言ったように、酢の調理も気にせずに出来ます。今回は内側の焦げでしたが、外の面が汚れてきた場合、大きな鍋に酢＆塩＆水で汚れた多層鍋をグツグツ煮るとある程度はきれいにもなります。
かといって、頻繁にはしないでくださいね。（私の場合は、年に１回するかしないかですね）
お友達が「ガンになる・・・」って言ったのはたぶん、焦げに関していったのではないかと思います。
きれいになること祈ってますね＾＾
では、良い食生活を＾＾　何かあったらまた聞いてくださいね＾＾わかることでしたら回答します＾＾