積分の収束・発散

質問

次の問題が分からないのでどなたかご教授お願いします。
できましたら過程もお願いします。

∫[1→∞]　（x^2-x+3)/(x^4+1) dx

この式が収束するのか発散するのかを比較判定法を使用して解くのですがどのようにしたらよいですか？

回答No.3

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不定積分は部分分数分解してから置換積分すればできます。
I=∫(x^2-x+3)/(x^4+1) dx
=∫(x^2-x+3)/((x^2+1+√2x)(x^2+1-√2x)) dx
=(1/(2√2))∫(2x+3√2+1)/(x^2+√2x+1)-(2x-3√2+1)/(x^2-√2x+1) dx
=(1/(2√2))∫(2x+3√2+1)/(x^2+√2x+1) dx
-(1/(2√2))∫(2x-3√2+1)/(x^2-√2x+1) dx
=I1-I2
I1=(1/(2√2))∫(2x+3√2+1)/((x+(1/√2))^2+(1/2)) dx
x+(1/√2)=t/√2とおいて置換積分すれば積分できるでしょう。

I2=(1/(2√2))∫(2x-3√2+1)/((x-(1/√2))^2+(1/2)) dx
x-(1/√2)=t/√2とおいて置換積分すれば積分できるでしょう。
(課題ですからこの積分位ご自分でおやりください)

積分すると
I=(1/(2√2))[{log(x^2+√2x+1)+((4+√2)arctan(√2x+1)}
-{log(x^2-√2x+1)-((4-√2)arctan(√2x-1)}] +C (Cは積分定数)
=(1/(2√2))log((x^2+√2x+1)/(x^2-√2x+1))
-√2{arctan(√2x+1)-arctan(√2x-1)}
-(1/2){arctan(√2x+1)+arctan(√2x-1)} +C
=(1/(2√2))log((x^2+√2x+1)/(x^2-√2x+1))
-√2{arctan(1/x^2)}-(1/2)arctan{√2x/(1-x^2)}} +C

定積分は広義積分になるからlimをとり
∫[1→∞]　（x^2-x+3)/(x^4+1) dx
=lim[x→∞][(1/(2√2))log((x^2+√2x+1)/(x^2-√2x+1))
-√2{arctan(1/x^2)}-(1/2)arctan{√2x/(1-x^2)}}]
-lim[x→1+0][(1/(2√2))log((x^2+√2x+1)/(x^2-√2x+1))
-√2{arctan(1/x^2)}-(1/2)arctan{√2x/(1-x^2)}}]
=[(1/(2√2))(log(1)-0+0]
-[(1/(2√2))log{(2+√2)/(2-√2)}-√2(π/4)-(1/2)(-π/2)]
=(π/4)(√2-1)-(1/(2√2))log(3+2√2)
=(π/4)(√2-1)-(1/√2)log(1+√2)

となり定積分が求まった訳ですから、積分は収束するということです。
定積分は広義積分になるので計算上で色々と工夫が必要です。

途中のatctanの和差公式を使ってまとめたのも工夫の１つです。
　arctanA±arctanB=arctan(tan(arctanA±arctanB))
=arctan((A±B)/(1-(±AB)))

細かな所は、課題ですので自身で計算しお考えください。

お礼

部分分数分解しても求まるのですか、大変勉強になりました。ありがとうございます。