積分の収束についてです

質問

∫log(ｘ)/(１＋ｘ＾２)　ｄｘ　ｘ；０→∞　　　が収束することをしめしたいのですが、コーシーの判定条件から∫log(ｘ)/(1＋ｘ＾２)ｄｘ(ｘ：ｐ→ｑ)→０　(ｐ、ｑ→∞)　を示せばいいとおもうのですがどうやるかわかりません。　それともコーシーの判定条件ではないのでしょうか。
お願いします。

回答No.2

zk43

問題となるのは０と∞のところなので、積分区間を(0,1]と[1,∞)に分
けて考えます。
まず、(0,1]では、|log(x)/(1+x^2)|＜|log(x)|と評価して、
∫(x:0→1)|log(x)|dxの収束を考えます。
0＜x＜1ではlog(x)＜0なので、これは-∫(x:0→1)log(x)dxとなります
が、これは部分積分によって、有限な値になることが分かるでしょう。
logで考えにくければ、log(x)=yと置換して、指数関数の積分にすれば
良いでしょう。グラフで見れば、どこの面積に対応するかが分かるでし
ょう。
次に、[1,∞)では、
|log(x)/(1+x^2)|＜√x/(1+x^2)＜√x/x^2＝1/x^(3/2)
と評価すれば、収束性が分かるでしょう。
log(x)＜√xは√x-log(x)を微分して最小値を見ることによって確かめ
られます。
|log(x)/(1+x^2)|を積分が収束する関数1/x^a（a＞1）で上から押えた
いという発想から来ています。

お礼

わかりました。ありがとうございます

回答No.1

joggingman

手元のテキストに載ってましたが、
広義積分の問題で、収束値が求まる場合なので、

I=∫[0→1] log(x)/(1+x^2) dx　と
J=∫[1→∞] log(x)/(1+x^2) dx　に分けて、

x=1/tで置換すると、
J=∫[1→0] log(1/t)/(1 +1/t^2) (-1/t^2) dt
=-∫[0→1] log(t)/(1+t^2) dt
=-I
となります。
よって、I＋J=０　となります。

お礼

理解しました。ありがとうございます。