級数の収束・発散について

質問

∞
Σ(logn/n)^k （logは対数関数，kは正の定数）
n=2

の収束・発散について教えてください．

比較判定法だと思うのですが，何で抑えると上手くいくのかがわかりません．

よろしくお願いいたします．

回答No.4

muturajcp

訂正します。
k=1のとき
j≧3に対して
∫_{j～j+1}{(logx)/x}dx≦(logj)/j
だから
∫_{3～n+1}{(logx)/x}dx≦Σ_{j=2～n}(logj)/j
[{(logx)^2}/2]_{3～n+1}≦Σ_{j=2～n}(logj)/j
[{log(n+1)}^2-(log3)^2]/2≦Σ_{j=2～n}(logj)/j
∀L>0に対して
∃n_0>e^{2L+2}
∀n>n_0→n+1>n_0+1>e^{2L+2}→log(n+1)>2L+2
→Σ_{j=2～n}(logj)/j≧{log(n+1)}^2-(log3)^2>(2L+2)^2-4>L
→Σ_{n=2～∞}(logn)/n=∞
k=1のとき発散

k≧2のとき
j≧2に対して
0<{(logj)/j}<1
j≧4に対して
0<{(logj)/j}^k≦{(logj)/j}^2≦∫_{j-1～j}{(logx)/x}^2dx
だから
Σ_{j=4～n}{(logj)/j}^k≦∫_{3～n}{(logx)/x}^2dx
Σ_{j=4～n}{(logj)/j}^k≦[{-(logx)^2-2(logx)-2}/x]_{3～n}
Σ_{j=4～n}{(logj)/j}^k≦(log3)^2+2(log3)+1-{(logn)^2+2(logn)+2}/n}
Σ_{j=2～n}{(logj)/j}^k<(log2)/2+(log3)^2+{7(log3)/3}+1
Σ_{j=2～n}{(logj)/j}^k
は単調増加で上に有界だから
Σ_{n=2～∞}{(logn)/n}^k
は収束する

回答No.3

muturajcp

k=1のとき
j≧2に対して
∫_{j～j+1}{(logx)/x}dx≦(logj)/j
だから
∫_{2～n+1}{(logx)/x}dx≦Σ_{j=2～n}(logj)/j
[{(logx)^2}/2]_{2～n+1}≦Σ_{j=2～n}(logj)/j
[{log(n+1)}^2-(log2)^2]/2≦Σ_{j=2～n}(logj)/j
∀L>0に対して
∃n_0>e^{2L+1}
∀n>n_0→n+1>n_0+1>e^{2L+1}
→Σ_{j=2～n}(logj)/j≧{log(n+1)}^2-(log2)^2>(2L+1)^2-1>L
→Σ_{n=2～∞}(logn)/n=∞
k=1のとき発散する

k≧2のとき
j≧2に対して
0<{(logj)/j}<1
0<{(logj)/j}^k≦{(logj)/j}^2≦∫_{j-1～j}{(logx)/x}^2dx
だから
Σ_{j=2～n}{(logj)/j}^k≦∫_{1～n}{(logx)/x}^2dx
Σ_{j=2～n}{(logj)/j}^k≦[{-(logx)^2-2(logx)-2}/x]_{1～n}
Σ_{j=2～n}{(logj)/j}^k≦2-{(logn)^2+2(logn)+2}/n}≦2
Σ_{j=2～n}{(logj)/j}^k
は単調増加で上に有界だからk≧2のとき
Σ_{n=2～∞}{(logn)/n}^k
は収束する

回答No.2

noname#125931

a_{n+1}/a_n={(log(n+1)/(n+1))/(logn/n)}^k={log(1+(1/n))/(1+(1/n))}^k→0
よって収束する。

回答No.1

inara1

ご質問の式とはちょっと違いますが
　　　Σ [ n = 2～∞] 1/{ n*(logn)^k }
が k > 1 のときに収束することの証明（積分判定法）が、ここ（http://www.math.nus.edu.sg/~matwujie/Fall02/lectnotes.pdf）の40ページの例題 2.9.(2) に出ています。