行列ー階数

質問

1から9までの数字を並べて、３次正方行列Ａを作る。ただし、すべての数字を１度ずつ使うことにする。
このとき、階数が１であるような行列Ａは作れないことを証明せよ。

(a b c)
(d e f)
(g h i)

として、
階数が１となるときは、d=ka, e=kb, f=kc、g=la, h=lb, i=lc　(k,l∈Q)と置けるのではないかと考えたのですが、ここから、成り立たないことを言うには、どのように証明すればいいのかが分かりません。

直感的に、１～９の中で、３つともk倍ないし、l倍として表せる組は、1,2,3に対して、2,4,6と3,6,9　なので、不可能なんではないか。とは思うのですが。

回答No.1

sunflower-san · ベストアンサー

階数が１となるときは、d=ka, e=kb, f=kc、g=la, h=lb, i=lc　(k,l∈Q)と置ける、
また、行同士を入れ替えても行列の階数は変わらないので、a,d,gの位置の数が、a< d< g となるように並べかえておく。このとき 1< k< l となっている。
次に、列同士を入れ替えても行列の階数は変わらないので、a,b,cの位置の数が、a< b< c となるように並べかえておく。このとき行列は
(a b c)
(ka kb kc)
(la lb lc)
のかたちで、しかも1< k< l と a< b< c であるので、a が最小の成分である。よってa = 1 でないといけない。
また、lcが最大の成分であるので、lc = 9 でないといけない。

今度は右上の成分 c と左下の成分 la に注目する。これらの積は
c・la = a・lc = 9
である。しかし、9 を２つの相異なる正整数の積に分解する方法は 9 =1×9 の1通りしかなく、1と9は、aとlcですでに使ってしまっているため、cとlaには使えない。

よって、1,2,..,9の数字を一度ずつ使って
(a b c)
(ka kb kc)
(la lb lc)
の形の行列を作ることは出来ない。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

A No.2 です。

よく考えたら 1), 2) で a = 1 は確定だから
3) で終わりですね。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

1) 行ソートでrankは変化しないので l > k > 1 として

a < d < g
b < e < h
c < f < i

2) 列ソートでrankは変化しないので

a < b < c
d < e < f
g < h < i

3) a, b, c が互いに素なら k, l は正の整数でlは3以上になるので
a < b < c <= 9/3。⇒ (1, 2, 3) でこれは駄目。

4) a, b, c の共通因数が2の場合、n/2 (n=3~6)をかけて他の列を作ると

(a, b, c) =(2, 4, 6), (2, 4, 8), (2, 6, 8)、(4, 6, 8) 全て駄目

3) a, b, c の共通因数が3の場合　n/3 (n=4~9)をかけて他の列を作ると

(a, b, c) =(3, 6, 9) は駄目

以上。これで全てのパターンを網羅したはず。

＃間違っていたらすいません。