高校数学行列の問題：YX=Aの証明とBX=XAの条件
- 高校数学の行列の問題で、YX=Aの条件を証明するために、YX=Aの行列方程式を解く過程がわかりません。
- また、BX=XAとなるための必要十分条件を証明する方法も教えてください。
- SEOを意識したハッシュタグを含めた要約文をお願いします。
- ベストアンサー
高校数学行列の問題です。
X と Y は成分が負でない整数からなる二次元正方行列である。 A = [ 9 4：3 2] B = [10 2：2 1] としたとき、以下の質問に答える。 (1) X = [a b：c d] としたとき i) YX = A ⇒ a≦9 ii) YX = A, c = 0 ⇒ a = 1 or a = 3 を証明する。 Y = [c d：e f] とおけば YX = A より [e f：g h][a b：c d] = [9 4：3 2] なので ae + cf = 9 …… (1) be + df = 4 …… (2) ag + ch = 3 …… (3) bg + dh = 2 …… (4) まではわかりますが、ここからどうしたらいいかわかりません。 (2)BX = XA となるために必要十分条件は a = 3b - 2c, d = 2b - 4c であることを証明する。
- musume12
- お礼率62% (195/310)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
問題を解くポイントは「X と Y は成分が負でない整数からなる二次元正方行列である」ことです。 (1) i : ae+cf=9の式とa,e,c,fが0以上の整数であることを用いる ii : 条件を満たす整数の組を求める (2) BX=XAの関係からa,b,c,dの方程式を立てる ※スマホから閲覧すると画像が縮小されて文字が読めない場合があります。画像のみを別なタブで開き、URLのxxxxx.jpg(xは数字)に"_original"を付け加えてxxxxx_original.jpgにすると高画質版が見られます。
関連するQ&A
- 高校数学の行列です
A=(a,b,c,d)(行列で順に左上、右上、左下、右下の順)(a,b,c,d∈R),A≠kE(k∈R),A≠Oとする (1)Aの固有値λと固有ベクトル↑xが存在する条件はλが固有方程式λ^2-(a+d)λ+ad-bc=0(1)の解であることを証明せよ (2)(1)が異なる実数の固有値(λ=)α、βをもつとき、それらに対する固有ベクトル (↑x=)↑x1,↑x2は1次独立であることを証明せよ (3)特にb=cのとき、(2)において↑x1⊥↑x2であることを証明せよ (1)はA↑x=λ↑x,↑x≠↑0(⇔A↑x//↑x(広義平行),↑x≠0) ⇔(A-λE)↑x=↑0,↑x≠↑0 ⇔(a-λ,b,c,d-λ)(x,y)=(0,0),(x,y)≠(0,0) ⇔det(A-λE)=(a-λ)(d-λ)-bc=0 ⇔λ^2-(a+d)λ+ad-bc=0 となっていたのですが ⇔(a-λ,b,c,d-λ)(x,y)=(0,0),(x,y)≠(0,0)ここまでは分かりましたが、 この次の⇔det(A-λE)=(a-λ)(d-λ)-bc=0これは何で言えるんですか？ (x,y)は0では無いですが、行列って互いに0でなくても掛けたら0になることはありますよね、それに0になったとしてもdetも0になるんですか？ (2),(3)は解説を読むと分かって参考のようにして ケーリーハミルトンの定理 A^2-(α+β)A+αβE=Oが成り立つから↑0でない任意の平面ベクトル↑xに対して A(A↑x-β↑x)=α(A↑x-β↑x) A(A↑x-α↑x)=β(A↑x-α↑x) よって(A↑x-β↑x)//↑x1,A(A↑x-α↑x)//↑x2とあったのですが (A↑x-β↑x)//↑x1,A(A↑x-α↑x)//↑x2が何故成り立つのか分かりません その後すなわち行列(A-βE),(A-αE)によって任意のベクトル↑xはそれぞれα、 βの固有ベクトル↑x1,↑x2にへ行くなベクトルに変換されるとあったのですが、これも何の事か良くわからないのですが、詳しい説明をよろしくお願いします (注)として行列Aが固有値α、β(α≠β)と固有ベクトル↑x1,↑x2をもつ場合、平面上の任意のベクトル↑xを↑x1,↑x2に平行なそれぞれのベクトル↑p,↑qに直和分解して↑x=↑p+↑qとする このとき、行列P=1/(α-β)×(A-βE),Q=１/（β-α)×(A-αE)はそれぞれ↑xを↑x1,↑x2上へ平行射影する1次変換である すなわち P↑x=↑p,Q↑x=↑q 特に行列Aが対称行列のときP,Qは正射影の行列になるとあるのですが ↑qに直和分解して↑x=↑p+↑qとする までは分かりますが、この後の説明 がさっぱりわかりません、詳しくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学の整数の問題です
a,b,c,d,e,fを整数とする a+d=-60 b+e=-100 c+f=-120 これを満たすとき、a～ｆのうち最大のものをxとする。（たとえばb>a>c>d>e>fのときx=b,a=b>c>d>e>fのときx=a=b) xの値のうち最少の値はいくつか？ 答えはx=-30なのですが やり方がわかりません教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題です。
数学の問題です。 自分的にとても難しく、全く分かりませんでした。 R^2 の区間をi=[a,b)×[c,d)={(x,y)∈R^2 ｜a≤x<bかつc≤y<d}で定める。 a≥b又はc≥dのときはi=∅であると約束する。 b,dは∞となる。a,cは-∞となるが、[a,b)=(-∞,b),[c,d)=(-∞,d)と解釈する。 I_(R^2 )≔def {i│iはR^2 の区間} F_(R^2 )≔{f⊂R^2 ｜(∃_1,∃_2,…∃i_r∈F_(R^2 ) )[f=i_1⨆i_2⨆…⨆i_r ]} 上記から、∅∈I_(R^2 ),∅∈F_(R^2 ) である。 問3 (∀_E,∀_f∈F_(R^2 ) )[E∩f∈F_(R^2 )] を示してください。 問4 (∀_E∈F_(R^2 ) )[E^C∈F_(R^2 )] を示してください。 問5 (∀_E,∀_f∈F_(R^2 ) )[E∩f∈∅⇒E∪f=E⨆f∈F_(R^2 )] を示してください。 問6 (∀_E,∀_f∈F_(R^2 ) )[E∪f∈F_(R^2 )] を証明してください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 高校数学の問題です
高校数学の問題です 座標空間に4点A(2,1,0)B(1,0,1)C(0,1,2)D(1,3,7)がある。3点A,B,Cを通る平面に関して点Dと対称な点を点Eとするとき、点Eの座標を求めよ。 という問題です。 対称な点を求めたいとき、正射影ベクトルの考え方を使うことが多いので使おうとしましたが、そもそも正射影ベクトルの方向ベクトルが分からないと思ったので出来ませんでした。 Dから題意の平面に降ろした垂線の足をH(x,y,z)と置いて DHとAB DHとBC DHとCA がそれぞれ垂直(内積が0)とやっても上手く行きません(式3つ出てきますが変形することで式が2つになり三元連立方程式がyしか解けないです) どうすればいいでしょうか？？ ご教授お願いします が垂直
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の問題の解答を教えてください。
3次関数F(x)=ax³+bx²+cx+dが次の条件(A),(B)を満たしている。 (A) 関数y=F(x)のグラフは点(2.4)を通り、この点における接線の傾きは5である。 (B) 関数y=F(x)はx=1で極小値2をとる。 (1) 係数a,b,c,dを求めよ。 (2) 関数F(x)の最大値を求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題なんですが、お願いします
数学の問題なんですが、お願いします 2. B = {x |x ∈ N, x は素数，x < 21} がD = {x ∈ N, x は奇数} の部分 集合でないことを示しなさい。 3. 集合E,F,G に対して，F = G でなくとも，E ∩ F = E ∩ G が成立す る例をあげなさい。 4. 空集合は，任意の部分集合の部分集合であることを示しなさい。 5. A ⊂ B,B ⊂ C ⇒ A ⊂ C を証明しなさい。 6. A ∪ A = A およびA ∩ A = A を証明しなさい。 7. Ω を全体集合としたとき，以下を証明しなさい。 (a) A ∪ ? = A (b) A ∪ Ω = Ω (c) A ∩ Ω = A (d) A ∩ ? = ? (e) (Ac)c = A 8. 以下を証明しなさい。 (a) A ∩ B ⊂ A (b) A ⊂ A ∪ B 1
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列の質問(難）
HC定理を利用した証明 A=(a b),E=(1 0)とする。ただし、Aの成分は実数で,x=a+d,y=-(ad-bc)とする。次のことを証明せよ。 ^^^(c d)^^^(0 1) A^3=EかつAnot=E⇒A^2+A+E=O 解 行列Aについて,ハルミトンケーリーの定理からA^2-xA-yE=O すなわち A^2=xA+yE・・・・(1)が成り立つ。 A^3=AA^2=xA^2+yA=x(xA+yE)+yA=(x^2+y)A+xyE・・・・(2) A^3=EかつAnot=Eならば,(2)から (x^2+y)A+(xy-1)E=O・・・・(3) [1]x^2+y=0・・・・(4)のとき,(3)から (xy-1)E=O よってxy=1・・・・(5) (4)からy=-x^2 (5)に代入して x^3=-1 xは実数であるから x=-1 ゆえにy=-1 よって,(1)から A^2+A+E=O [2]x^2+ynot=0のとき,(3)から A=(1-xy)E/x^2+y 1-xy/x^2+y=kとおくと A=kE これをA^3=Eに代入して整理すると(k^3-1)E=O ゆえにk^3-1=0 kは実数であるからk=1であり,A=Eとなるが、これはAnot=Eｎ反する。 [1],[2]から、題意は示された。 教えてほしいところ 自分は[2]は書かないで[1]だけ書いて証明しました。 なぜ、[1]だけでもA^3=EかつAnot=E⇒A^2+A+E=O ということを示せているので正解じゃないんですか？？ [2]を書かないといけない必要性を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学IIIの問題です！
数学IIIの質問です。解き方を教えて下さい。 問題.f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+dとおく。関数y=f(x)のグラフがy軸と平行なある直線に関して 対称であるとする。 (1)a,b,c,dが満たす関係式を求めよ。 (2)関数y=f(x)は二つの二次関数の合成関数になっていることを示せ。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校の数学の問題、教えてください
高校の数学の問題、教えてください 高三、文系です できれば早めのご回答よろしくお願いしますm(_ _)m a,b,cを実数とする。f(x)=ax^2+bx+c が 0≦x≦1の範囲で |f(x)|≦1 を常に満たすとき (1)f’(0)をf(0)、f(1/2)、f(1)を用いて表せ (2)|f’(0)|≦8を証明せよ (3)|f’(0)|=8の時のf(x)を求めよ （１）は分かりました。 答えは f’(0)=-3f(0)+4f(1/2)-f(1) です （１）の答えを利用するのだろうと思うのですが、よくわからなくて困っています 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
丁寧かつすばやい回答、まことにありがとうございました。(1)のiなんか、まるでコロンブスの卵でした。