行列の固有値と固有ベクトルの条件とは？

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このQ&Aのポイント
  • 行列Aの固有値と固有ベクトルについての条件や証明方法をまとめてみました。
  • 特に異なる実数の固有値を持つ場合、それに対する固有ベクトルは1次独立であることを証明します。
  • また、特定の条件下で固有ベクトルが直交することも証明します。さらに、ケーリーハミルトンの定理や正射影の行列についても解説します。
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高校数学の行列です

A=(a,b,c,d)(行列で順に左上、右上、左下、右下の順)(a,b,c,d∈R),A≠kE(k∈R),A≠Oとする　(1)Aの固有値λと固有ベクトル↑xが存在する条件はλが固有方程式λ^2-(a+d)λ+ad-bc=0(1)の解であることを証明せよ (2)(1)が異なる実数の固有値(λ=)α、βをもつとき、それらに対する固有ベクトル (↑x=)↑x1,↑x2は1次独立であることを証明せよ (3)特にb=cのとき、(2)において↑x1⊥↑x2であることを証明せよ (1)はA↑x=λ↑x,↑x≠↑0(⇔A↑x//↑x(広義平行),↑x≠0) ⇔(A-λE)↑x=↑0,↑x≠↑0 ⇔(a-λ,b,c,d-λ)(x,y)=(0,0),(x,y)≠(0,0) ⇔det(A-λE)=(a-λ)(d-λ)-bc=0 ⇔λ^2-(a+d)λ+ad-bc=0 となっていたのですが ⇔(a-λ,b,c,d-λ)(x,y)=(0,0),(x,y)≠(0,0)ここまでは分かりましたが、 この次の⇔det(A-λE)=(a-λ)(d-λ)-bc=0これは何で言えるんですか？ (x,y)は0では無いですが、行列って互いに0でなくても掛けたら0になることはありますよね、それに0になったとしてもdetも0になるんですか？ (2),(3)は解説を読むと分かって参考のようにして ケーリーハミルトンの定理 A^2-(α+β)A+αβE=Oが成り立つから↑0でない任意の平面ベクトル↑xに対して A(A↑x-β↑x)=α(A↑x-β↑x) A(A↑x-α↑x)=β(A↑x-α↑x) よって(A↑x-β↑x)//↑x1,A(A↑x-α↑x)//↑x2とあったのですが (A↑x-β↑x)//↑x1,A(A↑x-α↑x)//↑x2が何故成り立つのか分かりません その後すなわち行列(A-βE),(A-αE)によって任意のベクトル↑xはそれぞれα、 βの固有ベクトル↑x1,↑x2にへ行くなベクトルに変換されるとあったのですが、これも何の事か良くわからないのですが、詳しい説明をよろしくお願いします (注)として行列Aが固有値α、β(α≠β)と固有ベクトル↑x1,↑x2をもつ場合、平面上の任意のベクトル↑xを↑x1,↑x2に平行なそれぞれのベクトル↑p,↑qに直和分解して↑x=↑p+↑qとする 　このとき、行列P=1/(α-β)×(A-βE),Q=１/（β-α)×(A-αE)はそれぞれ↑xを↑x1,↑x2上へ平行射影する1次変換である　 すなわち　P↑x=↑p,Q↑x=↑q 特に行列Aが対称行列のときP,Qは正射影の行列になるとあるのですが ↑qに直和分解して↑x=↑p+↑qとする　までは分かりますが、この後の説明 がさっぱりわかりません、詳しくお願いします

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.3

そう. (2) は「固有ベクトルが独立じゃない」ことを仮定して背理法に走った方が簡単じゃないかなぁ. (3) は「垂直」をどう示せばいいかだけの勝負.

arutemawepon
質問者

お礼

御返答ありがとうございます

arutemawepon
質問者

補足

>「固有ベクトルが独立じゃない」ことを仮定して背理法に走>った方が簡単じゃないかなぁ. (2),(3)の問題の解説は分かったんです、今回はこの解法を参考にして参照みたいな所と(注)を理解したいので、疑問点の方よろしくお願いします

その他の回答 (2)

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.2

へ? だって, 逆行列持ってたら (a-λ,b,c,d-λ)(x,y)=(0,0),(x,y)≠(0,0) が成り立たんでしょ?

arutemawepon
質問者

お礼

御返答ありがとうございます

arutemawepon
質問者

補足

>(a-λ,b,c,d-λ)(x,y)=(0,0),(x,y)≠(0,0) >が成り立たんでしょ? 逆行列を持っていたら両辺に左から (a-λ,b,c,d-λ)(インバース)を掛けたら(x,y)=(0,0)になるんじゃないですか、(x,y)≠(0,0)だから持たないってことですか?

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

とりあえず (1) だけ: det A ≠ 0 ⇔ A は逆行列を持つ

arutemawepon
質問者

お礼

ご返答ありがとうございます

arutemawepon
質問者

補足

>det A ≠ 0 ⇔ A は逆行列を持つ それは分かりますが (a-λ,b,c,d-λ)(x,y)=(0,0),(x,y)≠(0,0) からdet(A-λE)=(a-λ)(d-λ)-bc=0が何故言えるんですか？

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    　見にくくて恐縮です。画像も参照してください。 　2次正方行列 A の対角化が 　　┌　　┐ 　　│x　0│ 　　│0　y│ 　　└　　┘ のとき det(A) を求める。 　　　 ┌　　 ┐　　　　　　　　 1　┌　　 ┐ 　　P =│a　 b│　　P^(-1) =　────│ d -b│ 　　　 │c　 d│　　　　　　　ad - bc │-c　a│ 　　　 └　　 ┘,　　　　　　　　　 └　　 ┘. 　　　　　　　┌　　┐ 　　P^(-1)AP =│x　0│ 　　　　　　　│0　y│ 　　　　　　　└　　┘. 　　PP(^-1)AP = AP 　　　┌　　 ┐┌　　┐ ┌　　　┐ 　　 =│a　 b││x　0│=│ax　by│ 　　　│c　 d││0　y│ │cx　dy│ 　　　└　　 ┘└　　┘ └　　　┘. 　　A = APP^(-1) 　　　　　1　┌　　　┐┌　　 ┐ 　　 = ────│ax　by││ d -b│ 　　　 ad - bc │cx　dy││-c　a│ 　　　　　　 └　　　┘└　　 ┘ 　　　　1　　┌　　　　　　　　 ┐ 　　 = ────│adx-bcy　-abx+aby│ 　　　 ad - bc │cdx-cdy　-bcx+ady│ 　　　　　　 └　　　　　　　　 ┘ 　ここまで合ってるでしょうか？ 　合っていても 　　det(A) = 1/(ad-bc)( (adx-bcy)(-bcx+ady) - (-abx+aby)(cdx-cdy) ) を計算するのはメンドイです。行列式ならもっとうまい方法で求められるのでしょうか？

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