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行列の証明
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ONEONEさん、こんばんは。#1fushigichanです。 >集合L(A)をL(A)={sA+rE}とするとき L(A)の要素Bは零行列でなければ という条件が最初にありますが、要素Bが0行列になるのは s=t=0 のときは、Aにどんな行列を持ってきても、Bは0行列になるので、 s=t=0の場合を、まず排除しなければいけません。 さて、 a b 1 0 B=sA+tE=s( )+t( ) c d 0 1 sa+t sb =( ) sc sd+t より、s=t=0以外の場合で、Bが0行列になるのは、 sa+t=0 sb=0 sc=0 sd+t=0 ですが、s≠0なので、b=c=0 また、(sa+t)-(sd+t)=s(a-d)=0 ですが、s≠0であったため、a-d=0,a=d まとめて、a=d,b=c=0 このとき、 B=(sa+t)E となるので、sa+t≠0であれば、逆行列を持ちますね。 つまり、そういうs,tを選べばよいです。 (Bは単位行列の実数倍の行列になっている) 次に、 |B|=(sa+t)(sd+t)-sb*sc =t^2+s(a+d)t+s^2(ad-bc)≠0 から、これをtについての2次式だと考えると、 判別式をとってみましょう。 (判別式)={s(a+d)}^2-4s^2(ad-bc) =s^2{(a+d)^2-4(ad-bc)} |B|≠0ということは、t^2+s(a+d)t+s^2(ad-bc)=0 が実数解tを持たないということなので、 判別式は<0である。 s^2>0ですから、 (a+d)^2-4(ad-bc)<0 という条件が出てきます。 以上のことをまとめればいいと思います。 頑張ってください。
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- grothendieck
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fushigichanさんの解答の続きです。 (1)a=dかつ、b=c=0のとき sA+rEは単位行列に比例するから零行列でなければ逆をもつ。 (2)a≠dまたはb≠0またはc≠0のとき sA+rE = O となるのはs=r=0のときだけである。したがって r^2 + (a+d)rs + (ad-bc)s^2 ≠0 がs=r=0以外の任意のs,rについて成り立つ条件を求めると (a+d)^2 - 4(ad-bc) = (a-d)^2 + 4bc < 0 であるから、 a=dかつ、b=c=0のときまたは(a-d)^2 + 4bc < 0のときBは逆行列を持つ。
お礼
なるほど。ありがとうございました。
- fushigichan
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ONEONEさん、こんにちは。 a b 2次の正方行列A=( ) c d に対して、 集合L(A)を、 L(A)={sA+tE} としたときに、集合L(A)の要素Bとは?ということですね。 まず、この集合は、行列の集まりです。 A,Eが行列、s,tは実数ですから sA+tE という形で表せる行列全体の集まり、ということです。 その中の要素である行列Bは2次の正方行列で B=sA+tE の形で表せています。 実際計算すると、 a b 1 0 B=sA+tE=s( )+t( ) c d 0 1 sa+t sb =( ) sc sd+t のようにかけますね。 この行列Bが逆行列を持つ必要十分条件とは、 |B|≠0ですから |B|=(sa+t)(sd+t)-sb*sc =t^2+s(a+d)t+s^2(ad-bc)≠0 ということではないでしょうか。 ご参考になればうれしいです。
補足
ありがとうございます。 なるほど要素B行列のことはわかりました。 しかし答えが「(a=dかつb=c=0)または(a-d)^2+4bc<0」 と出ています。 右のは判別式?と推測されますが・・・
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