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数学C 行列の問題
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以下,行列のべき乗をA^2などと表します. (1) 背理法によります.A^{-1}が存在するとします.A^n = Oとなるnのうち最小のものをkとします.すると E = AA^{-1} ですが両辺にA^{k - 1}倍することで A^{k - 1) = A^k A^{-1} = O A^{-1} = O となりkの最小性に矛盾します.したがってA^{-1}は存在しません.(この証明はA^n = Oとなる行列―べき零行列―についても適用できます.) (2)ハミルトン・ケーリーの定理から A^2 - (a + d)A + (ad - bc)E = O です.さらに(1)よりA^{-1}が存在しないので det(A) = ad - bc = 0 です.よって A^2 = (a + d)A とわかります. (3)まずa + d = 0を示します.(2)より O = A^5 = (a + d)A^4 = … = (a + d)^4 A です.したがって(a + d)^4 = 0 あるいは A = Oですが,いづれにせよa + d = 0です.したがって A^2 = (a + d)A = 0A = O とわかります. (4)A + Eの行列式を計算すると,これまでの議論から det(A + E) = (a + 1)(d + 1) - bc = (ad - bc) + (a + d) + 1= 1 ≠ 0 なのでA + Eの逆行列は存在します.
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- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
蛇足: (1) 高校教程を考えると、A No.1 No.2 の解法がよいのでしょう。 行列式に慣れていれば、O=A^5 から 0 = |O| = |A^5| = |A|^5 より |A| = 0. よって A^-1 は存在しない とすることもできます。 こっちだと、背理法が避けられます。 (2) これも高校教程を意識すると、ケイリー・ハミルトンの定理は 経由しないほうが無難 ということになります。 使うとしても、「成分計算してみると、成り立っている」という 説明で定理を導入することになるので、 示したい式を直接成分計算してしまうほうが、素直です。 (1) から ad-bc=0 が言えますから、 A^2-(a+d)A = (bc-ad 0 0 bc-ad) を計算すれば、 A^2-(a+d)A = O が示せます。 (3) A No.2 の言うとおり。 (4) A No.3 の言うとおり。 (E+A)(E-A) = E^2-A^2 = E-O.
- Tacosan
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(4) は A+E の逆行列を見せちゃってもいいね>#2.
- 61686168
- ベストアンサー率27% (23/85)
自信はありませんが、、、 (1)ですが背理法とかどうでしょう。 [仮定]Aは逆行列A^(-1)を持つとする。A^5に左からA^(-1)の五乗をかけると A^(-1)A^(-1)A^(-1)A^(-1)A^(-1)AAAAA =A^(-1)A^(-1)A^(-1)A^(-1)EAAAA =A^(-1)A^(-1)A^(-1)EAAA = ... =E となるが題意ではゼロ行列にならないといけない。 これは矛盾である。よって仮定は成り立たない。 → Aは逆行列をもたない。(終わり)
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